Productoriu

El productoriu^[1], tamién conocíu como multiplicatorio, multiplicatoria o a cencielles productu (por denotase como una lletra pi mayúscula), ye una notación matemática que representa una multiplicación d'una cantidá arbitraria (finita o infinita).

Lletra pi mayúscula, notación del productoriu.

Notación

La notación espresar cola lletra griega pi mayúscula Π de la siguiente manera:

Pa tolos valores m < n

${\displaystyle \prod _{k=m}^{n}a_{k}=a_{m}\cdot a_{m+1}\cdot \quad \dots \quad \cdot a_{n}}$

Si m = n tenemos que:

${\displaystyle m=n\;,\quad \prod _{k=m}^{n}a_{k}=\prod _{k=m}^{m}a_{k}=a_{m}}$

Nel casu de que m sía mayor que n, m > n, asígnase-y el valor del elementu neutru de la multiplicación, l'unu:

${\displaystyle m>n\;,\quad \prod _{k=m}^{n}a_{k}=1}$

Puede definise por inducción como sigue.

1. Defínese :: ${\displaystyle \prod _{k=1}^{1}a_{k}=a_{1}}$

2. Supuesta definida pa un n ≥ 1 fixu, defínese :: ${\displaystyle \prod _{k=1}^{n+1}a_{k}=\left(\prod _{k=1}^{n}a_{k}\right)a_{n+1}}$

Exemplu

Puede usase'l productoriu pa definir otres igualdaes importantes. Asina, tomando n=1 y aplicando la segunda igualdá llógrase:

${\displaystyle \prod _{k=1}^{2}a_{k}=\left(\prod _{k=1}^{1}a_{k}\right)(a_{2})=a_{1}a_{2}}$.

Definida pa n=2, puede aplicase otra vegada la segunda igualdá con n=2 pa depués llograr

${\displaystyle \prod _{k=1}^{3}a_{k}=\left(\prod _{k=1}^{2}a_{k}\right)(a_{3})=(a_{1}a_{2})a_{3}}$.

Asina, usando la propiedá asociativa de la multiplicación, el productu ${\displaystyle {\mathit {(a_{1}a_{2})a_{3}}}\,\!}$ ye'l mesmu que ${\displaystyle {\mathit {a_{1}(a_{2}a_{3})}}\,\!}$ y, poro, podemos prescindir del usu de paréntesis ensin peligru de tracamundiu y usar a cencielles

${\displaystyle a_{1}\,a_{2}\,a_{3}=\prod _{k=1}^{3}a_{k}}$.

Puédese entós, usar esti razonamientu pa cualesquier ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ensin qu'haya peligru de tracamundiu.

Otru exemplu de productoriu bien conocíu ye'l que s'utiliza pa definir n! (n factorial) como sigue:

${\displaystyle \prod _{k=1}^{n}k=n!}$

Defínese ${\displaystyle 0!=1!=1}$

Propiedaes

Puede usase el métodu d'inducción matemática para demostrar delles propiedaes. Pa ello, basaremos na definición formal por inducción descrita enantes.

Propiedá Multiplicativa

${\displaystyle \prod _{k=1}^{n}{({a_{k}}{b_{k}})}=\left(\prod _{k=1}^{n}a_{k}\right)\left(\prod _{k=1}^{n}b_{k}\right)}$

Demostración per Inducción i) Tomemos n=1 y veamos si cumple la igualdá : ${\displaystyle \prod _{k=1}^{1}{({a_{k}}{b_{k}})}=a_{1}b_{1}=\left(\prod _{k=1}^{1}a_{k}\right)\left(\prod _{k=1}^{1}b_{k}\right)}$

y la igualdá ye cierta pa n=1

ii) Supongámosla cierta pa n y analicémosla pa n+1

${\displaystyle \prod _{k=1}^{n+1}{({a_{k}}{b_{k}})}=\left[\prod _{k=1}^{n}{({a_{k}}{b_{k}})}\right](a_{n+1}b_{n+1})}$

${\displaystyle \prod _{k=1}^{n+1}{({a_{k}}{b_{k}})}=\left(\prod _{k=1}^{n}a_{k}\right)\left(\prod _{k=1}^{n}b_{k}\right)a_{n+1}b_{n+1}}$

(Definición per inducción)

${\displaystyle \prod _{k=1}^{n+1}{({a_{k}}{b_{k}})}=\left[\left(\prod _{k=1}^{n}a_{k}\right)(a_{n+1})\right]\left[\left(\prod _{k=1}^{n}b_{k}\right)(b_{n+1})\right]}$

(Asociatividad en DIR) Depués, : ${\displaystyle \prod _{k=1}^{n+1}{({a_{k}}{b_{k}})}=\left(\prod _{k=1}^{n+1}a_{k}\right)\left(\prod _{k=1}^{n+1}b_{k}\right)}$

Propiedá Telescópica

${\displaystyle \prod _{k=1}^{n}{\frac {a_{k}}{a_{k-1}}}={\frac {a_{n}}{a_{0}}},\quad {\text{si cada}}\;a_{k}\neq 0}$

Demostración per Inducción

i) Analicemos pa n=1

${\displaystyle \prod _{k=1}^{1}{\frac {a_{k}}{a_{k-1}}}={\frac {a_{1}}{a_{0}}},\quad {\text{con:}}\;a_{0}\neq 0\;{\text{y la igualdá ye cierta para:}}\;n=1}$

ii) Supongámosla cierta pa n y analicémosla pa n+1

${\displaystyle \prod _{k=1}^{n+1}{\frac {a_{k}}{a_{k-1}}}=\left(\prod _{k=1}^{n}{\frac {a_{k}}{a_{k-1}}}\right)\left({\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right)}$ (Definición per inducción)

Depués, : ${\displaystyle \prod _{k=1}^{n+1}{\frac {a_{k}}{a_{k-1}}}={\frac {a_{n}}{a_{0}}}\;{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}}$ que ye lo que queríamos demostrar.

Nótese que la nuesa esixencia yera que pa cada ${\displaystyle {\mathit {k}}\,\!}$, ${\displaystyle a_{k}\neq 0}$. En particular, pa ${\displaystyle {\mathit {k=n}}\,\!}$, ${\displaystyle a_{k}=a_{n}\neq 0}$. Depués la simplificación ye posible y : ${\displaystyle \prod _{k=1}^{n+1}{\frac {a_{k}}{a_{k-1}}}={\frac {a_{n+1}}{a_{0}}}}$.

Ver tamién

• Sumatorio
• Factorial
• Suma
• Multiplicación
• Coproducto (teoría de categoríes)