Törəmə

Törəmə — funksiyanın hər hansı verilmiş bir nöqtədə dəyişmə sürətini göstərir. y=f(x) funksiyası hər hansı a nöqtəsində kəsilməzdirsə, arqumentin sonsuz kiçilən artımına funksiyanın da sonsuz kiçilən artımı uyğun olur ki, bu təklifin əksi də doğrudur. Yəni arqumentin a nöqtəsindəki sonsuz kiçilən artımına funksiyanın da bu nöqtədə sonsuz kiçilən artımı uyğundursa, funksiya bu nöqtədə kəsilməzdir. Arqument artımı sifra yaxınlaşdıqda funksiya artımının arqument artımına nisbətinin limiti varsa, bu limitə f(x) funksiyasının a nöqtəsində törəməsi deyilir. Əgər ${\displaystyle \Delta x}$→0 şərtində

Funksiyanın qrafiki qara rəngdə, ona toxunan düz xəttin qrafiki isə qırmızı rəngdə göstərilmişdir. Düz xəttin qrafikinin funksiyanın qrafikinə toxunduğu nöqtənin dəyəri, həmin toxunanın bucaq əmsalına bərabərdir

${\displaystyle {\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{(\Delta x)}}}$

nisbətinin sonlu limiti varsa, onda həmin limitə y=f(x) funksiyasının x nöqtəsində törəməsi deyilir. Verilmiş x nöqtəsində törəməsi olan funksiyaya həmin nöqtədə diferensiallanan funksiya deyilir. (a, b) intervalının hər bir nöqtəsində törəməsi olan funksiya həmin intervalda diferensiallanan funksiya adlanır. Funksiyanın törəməsini tapmaq əməlinə həmin funksiyanın diferensiallanması deyilir.

Elementar funksiya törəmələri

• Eksponensial və alqoritmik funksiyalar:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}.}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}a^{x}=\ln(a)a^{x}.}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln(x)={\frac {1}{x}},\qquad x>0.}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\log _{a}(x)={\frac {1}{x\ln(a)}}.}$

• Triqonometriya funksiyaları:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sin(x)=\cos(x).}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cos(x)=-\sin(x).}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\tan(x)=\sec ^{2}(x)={\frac {1}{\cos ^{2}(x)}}=1+\tan ^{2}(x).}$

• Tərs triqonometrik funksiyalar:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arcsin(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}},-1<x<1.}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arccos(x)=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}},-1<x<1.}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arctan(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}}$

Törəmənin tətbiqi

Törəmənin sıfra bərabər olduğu və törəmənin olmadığı daxili nöqtələr funksiyanın böhran nöqtələridir. Həmin nöqtələr funksiyanın aldığı ən böyük və ya ən kiçik qiymətlər ola bilər. Bundan başqa cismin sürətinin zamana görə funksiyasının törəməsi onun təcilinə bərabərdir.