Векторлы анализ

Ве́кторлы ана́лиз — математиканың, ҡағиҙә булараҡ ике- йәки өс үлсәмле арауыҡта математик анализ ысулдарын векторҙарға таратыусы бүлеге.

Векторлы анализ
Өйрәнеү объекты	геометрик вектор, вектор-функция[d] һәм вектор[d]
Векторлы анализ Викимилектә

Ҡулланыу өлкәһе

Векторлы анализды ҡулланыу объекттары булып торалар:

• Векторлы яландар — бер векторлы арауыҡтың башҡаларына сағылыштары.
• Скаляр яландар — векторлы арауыҡтарҙа функциялар.

Векторлы анализ күберәк физикала һәм инженерияла ҡулланыла. Векторлы ысулдарҙың традицион координаталар ысулынан төп өҫтөнлөгө булып тора:

1. компактлыҡ. Бер векторлы тигеҙләмә бер нисә координаталы тигеҙләмәне берләштерә, һәм уны өйрәнеү йышыраҡ, векторҙарҙы координаталы яҙыуға алмаштырмайынса, туранан-тура алып барылырға мөмкин.
2. Инвариантлыҡ. Векторлы тигеҙләмә координаталар системаһына бәйле түгел һәм теләһә ниндәй уңайлы координаталар системаһында еңел генә координаталы яҙыуға үҙгәртелә.
3. Асыҡлыҡ. Векторлы анализдың дифференциаль операторҙары һәм уларҙы бәйләгән нисбәттәр, ҡағиҙә булараҡ, ябай һәм аныҡ физик интерпретацияға эйә.

Векторлы операторҙар

Иң йыш ҡулланылған векторлы операторҙар:

• Ротор һәм дивергенция — векторлы яландар өсөн.
• Градиент — скаляр яландар өсөн.
• Лапласиан — скаляр һәм векторлы яландар өсөн.

Оператор	Тамғаланышы	Тасуирлама	Тип
Градиент	${\displaystyle \operatorname {grad} (f)=\nabla f}$	Скаляр яландың иң тиҙ үҫеү тиҙлеген һәм йүнәлешен билдәләй.	Скаляр ${\displaystyle \Rightarrow }$ вектор
Дивергенция	${\displaystyle \operatorname {div} (\mathbf {F} )=\nabla \cdot \mathbf {F} }$	Векторлы яландың таралыусанлығын, сығанаҡтарын һәм ағымдарын ҡылыҡһырлай.	Вектор ${\displaystyle \Rightarrow }$ скаляр
Ротор	${\displaystyle \operatorname {rot} (\mathbf {F} )=\nabla \times \mathbf {F} }$	Векторлы яландың өйөрмәле компонентын ҡылыҡһырлай.	Вектор ${\displaystyle \Rightarrow }$ вектор
Лапласиан	${\displaystyle \Delta f=\nabla ^{2}f=\nabla \cdot \nabla f}$	Дивергенцияның градиент менән берләштерелеүе.	Скаляр ${\displaystyle \Rightarrow }$ скаляр
Векторлы Лапласиан	${\displaystyle {\displaystyle \Delta \mathbf {A} ={\Delta }A_{x}\mathbf {i} +{\Delta }A_{y}\mathbf {j} +{\Delta }A_{z}\mathbf {k} }}$[1]		Вектор ${\displaystyle \Rightarrow }$ вектор

${\displaystyle \operatorname {grad} (f)=\nabla f={\frac {\partial f}{\partial x}}\mathbf {i} +{\frac {\partial f}{\partial y}}\mathbf {j} +{\frac {\partial f}{\partial z}}\mathbf {k} }$

${\displaystyle \operatorname {div} (\mathbf {F} )=\nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}}$

${\displaystyle \operatorname {rot} (\mathbf {F} )=\nabla \times \mathbf {F} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\F_{x}&F_{y}&F_{z}\end{vmatrix}}=\left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\right)\mathbf {i} +\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right)\mathbf {k} }$

${\displaystyle \Delta f=\nabla ^{2}f=\nabla \cdot \nabla f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}}$

${\displaystyle \Delta \mathbf {A} ={\Delta }A_{x}\mathbf {i} +{\Delta }A_{y}\mathbf {j} +{\Delta }A_{z}\mathbf {k} ={\biggl (}{\frac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial z^{2}}}{\Biggr )}\mathbf {i} +{\biggl (}{\frac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial z^{2}}}{\Biggr )}\mathbf {j} +{\biggl (}{\frac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial z^{2}}}{\Biggr )}\mathbf {k} }$

Икенсе тәртиптәге дифференциаль операциялар

	Скаляр ялан ${\displaystyle f=f(x,y,z)}$	Векторлы ялан ${\displaystyle \mathbf {A} =A_{x}\mathbf {i} +A_{y}\mathbf {j} +A_{z}\mathbf {k} }$
	${\displaystyle \operatorname {grad} }$	${\displaystyle \operatorname {div} }$	${\displaystyle \operatorname {rot} }$
${\displaystyle \operatorname {grad} }$		${\displaystyle \operatorname {grad} \operatorname {div} (\mathbf {A} )=\nabla \cdot (\nabla \cdot \mathbf {A} )}$
${\displaystyle \operatorname {div} }$	${\displaystyle \operatorname {div} \operatorname {grad} (f)=\nabla \cdot \nabla f=\nabla ^{2}f=\Delta f}$		${\displaystyle \operatorname {div} \operatorname {rot} (\mathbf {A} )=\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )=0}$
${\displaystyle \operatorname {rot} }$	${\displaystyle \operatorname {rot} \operatorname {grad} (f)=\nabla \times (\nabla f)=0}$		${\displaystyle \operatorname {rot} \operatorname {rot} (\mathbf {A} )=\nabla \times (\nabla \times \mathbf {A} )=\nabla \cdot (\nabla \cdot \mathbf {A} )-(\nabla \cdot \nabla )\cdot \mathbf {A} =\operatorname {grad} \operatorname {div} \mathbf {A} -\Delta \mathbf {A} }$

Был операциялар икенсе тәртиптәге дифференциаль операциялар тип аталалар, сөнки улар скаляр йәки вектор функцияларҙы икеләтә дифференциаллауға ҡайтып ҡалалар (формаль рәүештә: уларҙың символик яҙылышында Гамильтон операторы {displaystyle Delta} {displaystyle Delta} ике тапҡыр була)^[2]

Төп бәйләнештәр

Бында векторлы яҙылышта күп үлсәмле анализдың мөһим теоремаларының ҡыҫҡаса мәғлүмәте килтерелә.

Теорема	Яҙылышы	Аңлатма
Градиент тураһында теорема	${\displaystyle \varphi \left(\mathbf {q} \right)-\varphi \left(\mathbf {p} \right)=\int _{L}\nabla \varphi \cdot d\mathbf {r} .}$	Скаляр яландың градиентынан кәкре һыҙыҡлы интеграл кәкре һыҙыҡтың сик нөктәләрендәге ялан ҡиммәттәре айырмаһына тиң.
Грин теоремаһы	${\displaystyle \oint \limits _{C}L\,dx+M\,dy=\iint \limits _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dA}$	Йомоҡ яҫы контур буйынса кәкре һыҙыҡлы интеграл контур менән сикләнгән өлкә буйынса икеләтә интегралға үҙгәртелергә мөмкин.
Стокс теоремаһы	${\displaystyle \int \limits _{\Sigma }\nabla \times \mathbf {F} \cdot d\mathbf {\Sigma } =\oint \limits _{\partial \Sigma }\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} ,}$	Векторлы яландың роторынан йөҙ интегралы был өҫкө йөҙ сиге буйынса әйләнешкә тиң.
Остроградский — Гаусс теоремаһы	${\displaystyle \iiint \limits _{V}\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)dV=\iint \limits _{\partial V}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {S} ,}$	Вектор яланының дивергенцияһынан күләм интегралы сик йөҙө аша шул яландың ағымына тигеҙ.

Тарихи очерк

Векторҙарҙы тәүге тапҡыр У. Гамильтон 1843 йылда кватерниондарҙы (уларҙың өс үлсәмле уйҙырма өлөшө булараҡ) асыу менән бәйле индерә. Ике монографияла (1853, 1866 йылдарҙа, үлгәндән һуң) Гамильтон вектор һәм вектор функция төшөнсәһен индерә, ${\displaystyle \nabla }$ {displaystyle nabla} {displaystyle nabla} («набла», 1846) дифференциаль операторын һәм векторлы анализдың башҡа бик күп төшөнсәләрен тасуирлай.

Яңы объекттар өҫтөнән операциялар сифатында скаляр һәм векторлы ҡабатлауҙы билдәләй, улар кватерниондар өсөн тик алгебраик (уларҙы ғәҙәти ҡабатлағандағы) килеп сығалар.

Шулай уҡ Гамильтон векторҙарҙың коллинеарлығы һәм компланарлығы, векторлы тройканың йүнәлеше һ. б. төшөнсәләрҙе индерә.

Максвеллдың беренсе хеҙмәттәрендә ҡулланылған (1873) векторлы символиканың компактлылығы һәм инвариантлығы физиктарҙы ҡыҙыҡһындыра; оҙаҡламай Гиббстың «Элементы векторного анализа» (1880-се йылдар) хеҙмәте донъя күрә, ә һуңынан Хевисайд (1903) векторлы иҫәпләүгә заманса ҡиәфәт бирә.

Шуныһы иғтибарға лайыҡ: Максвеллдың хеҙмәттәрендә үк кватернион терминологияһы юҡ тиерлек, ғәмәлдә уны тик векторлы терминология алмаштыра. «Векторлы анализ» терминын Гиббс (1879) үҙенең лекциялар курсында тәҡдим итә.

Шулай уҡ ҡарағыҙ

• Вектор-функция
• Векторлы иҫәпләмә
• Градиент
• Дивергенция
• Дифференциаль геометрия
• Набло операторы
• Поверхность
• Ротор
• Векторлы анализ формулалары
• Гельмгольциан
• Даламбер операторы

Әҙәбиәт

• Александрова Н. В. Формирование основных понятий векторного исчисления. // Историко-математические исследования. — М.: Наука, 1982. — № 26. — С. 205—234.
• Борисенко А. И., Тарапов И. Е. Векторный анализ и начала тензорного исчисления. М.: Высшая школа, 1966, 251 с.
• Краснов М. Л., Кисилев А. И., Макаренко Г. И. Векторный анализ. Наука, 1978, 160 с. (2-ое изд. УРСС, 2002)
• Кумпяк Д. Е. Векторный и тензорный анализ. 2014 йыл 27 февраль архивланған. Учебное пособие. Тверь: Тверской гос. университет, 2007, 158 с.
• Мак-Коннел А. Дж. Введение в тензорный анализ с приложениями к геометрии, механике и физике. 2014 йыл 27 февраль архивланған. М.: Физматлит, 1963, 411 с.
• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, том III. — М.: Наука, 1966.
• В. Г. Воднев, А. Ф. Наумович, Н. Ф. Наумович «Математический словарь высшей школы». Издательство МПИ 1984.