Гамма-функция

Гамма-функция — математик функция, ғәҙәттә ${\displaystyle \Gamma (z)}$ тип тамғалана. Леонард Эйлер тарафынан индерелгән, ә үҙенең тамғаланышы менән гамма-функция Адриен Мари Лежандрға бурыслы.

Гамма-функция
Асыусы йәки уйлап табыусы	Леонард Эйлер[1]
Закон йәки теорема формулаһы	${\displaystyle \operatorname {\Gamma } \left(z\right)=\int \limits _{0}^{\infty }t^{z-1}\mathrm {e} ^{-t}\,\mathrm {d} t}$[2][3]
Обозначение в формуле	${\displaystyle \operatorname {\Gamma } (z)}$, ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x}$ һәм ${\displaystyle \mathrm {e} }$
Вики-проект	Проект:Математика[d]
Влечёт за собой	факториал
Гамма-функция Викимилектә

Гамма-функция фәндә бик киң ҡулланыла. Уның киң ҡулланылған өлкәләре — математик анализ, ихтималлыҡ теорияһы, комбинаторика, статистика, атом физикаһы, астрофизика, гидродинамика, сейсмология. Айырым осраҡта, гамма-функция факториал төшөнсәһен аргументтың ысын һәм комплекслы ҡиммәттәре күмәклегенә дөйөмләштереү өсөн ҡулланыла.

Билдәләмәләр

Ысын үҙгәреүсәнле гамма-функция графигы

Интеграль билдәләмә

Әгәр ${\displaystyle z}$ комплекслы һанының ысын өлөшө ыңғай булһа, гамма-функция абсолют йыйылыусан интеграл аша билдәләнә: ${\displaystyle \Gamma (z)=\int \limits _{0}^{\infty }\!t^{\,z-1}e^{-t}\,dt,\quad z\in \mathbb {C} \colon \mathrm {Re} (z)>0}$ Был билдәләмә Лежандр тарафынан Эйлерҙың үҙенсәлекле билдәләмәһенән, үҙгәреүсәнде ${\displaystyle x=e^{-t}}$ алмаштырып ҡуйыу юлы менән сығарылған (1730 й.)

${\displaystyle \Gamma (z)=\int \limits _{0}^{1}(-\ln {x})^{z-1}\,dx}$

Бөгөнгө көндә тап Лежандр билдәләмәһе гамма-функцияның классик билдәләмәһе булараҡ билдәле. Классик билдәләмәне өлөшләп интеграллап, ${\displaystyle \Gamma (z+1)=z\Gamma (z)}$ булыуын күрергә мөмкин.

Гамма-функцияның ҡиммәтен яҡынса иҫәпләү өсөн, шулай уҡ Эйлер билдәләмәһенән ${\displaystyle \Gamma (z)=\Gamma (z+1)/z}$ тигеҙлеген ҡулланыу һәм үҙгәреүсәнде ${\displaystyle x=y^{2}}$ алмаштырып ҡуйыу юлы менән табылған өсөнсө формула уңайлы:

${\displaystyle \Gamma (z)={\frac {2^{z+1}}{z}}\int \limits _{0}^{1}y(-\ln {y})^{z}\,dy}$.

Был формулала интеграл ${\displaystyle \mathrm {Re} (z)>-1}$ булғанда йыйылыусан, әммә ул ғәҙәттә үҙгәреүсәндең ыңғай ысын ҡиммәттәрендә (башлыса — 1-гә яҡын) ҡулланыла. Ысын аргументтың ${\displaystyle z>0}$ булған осрағында интеграл аҫты функцияһының берҙән-бер үҙенә бер төрлө нөктәһе бар — ${\displaystyle y=0}$ булғанда өҙөклөк бөтөрөлә, һәм әгәр уға ${\displaystyle 0}$ нөктәһендә өҫтәп билдәләмә биргәндә, ул бөтә ${\displaystyle [0;1]}$ киҫегендә өҙлөкһөҙ буласаҡ. Шулай итеп, интеграл үҙинтеграл була, был һанлы интеграллауҙы ябайлаштыра.

Баштағы формуланың, Риман-Ханкель интегралы тип аталған бөтә комплекслы яҫылыҡҡа туранан-тура дауамы бар

${\displaystyle \Gamma (z)={\frac {1}{e^{i2\pi z}-1}}\int \limits _{L}\!t^{\,z-1}e^{-t}\,dt,\quad z\in \mathbb {C} \setminus \{0,-1,-2,\ldots \}.}$

бында ${\displaystyle L}$ контуры — комплекслы яҫылыҡтағы, ${\displaystyle t=0}$ нөктәһен сәғәт уғы йүнәлешенә ҡаршы урап сығыусы, остары ыңғай ысын күсәр буйлап сикһеҙлеккә киткән теләһә ниндәй контур.

Артабанғы аңлатмалар гамма-функцияның альтернатив билдәләмәләре булып торалар.

Гаусс билдәләмәһе

Ул 0 һәм тиҫкәре һандарҙан башҡа, бөтә комплекслы ${\displaystyle z}$ һандары өсөн дөрөҫ

${\displaystyle \Gamma (z)=\lim \limits _{n\to \infty }{\frac {(n-1)!\,n^{z}}{z(z+1)(z+2)\cdots (z+n-1)}},\quad z\in \mathbb {C} \setminus \{0,-1,-2,\ldots \}.}$

Эйлер билдәләмәһе

${\displaystyle \Gamma (z)={\frac {1}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{\mathrm {z} }}{1+{\frac {\mathrm {z} }{n}}}},\quad z\in \mathbb {C} \setminus \{0,-1,-2,\ldots \}.}$

Вейерштрасс билдәләмәһе

${\displaystyle \Gamma (z)={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{-1}e^{z/n},\quad z\in \mathbb {C} \setminus \{0,-1,-2,\ldots \}.}$

бында ${\displaystyle \gamma =\lim \limits _{n\to \infty }\left(\sum \limits _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\ln {n}\right)\approx 0,57722}$ — Эйлер — Маскерони даимиһы.

Иҫкәрмә: ҡайһы берҙә альтернатив, пи-функция ҡулланла, ул факториалдың һөҙөмтәһе булып тора һәм гамма-функция менән ${\displaystyle \Pi (z)=\Gamma (z+1)}$ нисбәте менән бәйләнгән. Гаусс, Риман, һәм XIX быуаттың башҡа күп немец математиктары тап ошо функция (ә Г-функция түгел) менән ҡулланғандар.

Үҙсәнлектәре

Гамма-функция модуленең комплекслы яҫылыҡта графигы.

Әгәр ${\displaystyle z}$ — бөтөн тиҫкәре булмаған һан булһа,

${\displaystyle \Gamma (z+1)=z!}$ .

Гамма-функцияның төп үҙсәнлеге — уның рекуррент тигеҙләмәһе

${\displaystyle \Gamma (z+1)=z\Gamma (z)}$

ул билдәләнгән башланғыс шарттарҙа берҙән-бер логарифмик асыҡ сағылышлы сығарылышын, йәғни гамма-функцияның үҙен билдәләй (берҙән-берлеге тураһында теорема).
Г-функция өсөн Эйлер өҫтәмәһе формулаһы дөрөҫ:

${\displaystyle \Gamma (1-z)\Gamma (z)={\pi \over \sin \pi z}}$.

Шулай уҡ Гаусстың ҡабатлау формулаһы ла дөрөҫ:

${\displaystyle \Gamma (z)\Gamma \left(z+{\frac {1}{n}}\right)\cdots \Gamma \left(z+{\frac {n-1}{n}}\right)=n^{{\frac {1}{2}}-nz}\cdot (2\pi )^{\frac {n-1}{2}}\Gamma (nz),}$

Был формуланың n=2 булғандағы Лежандр сығарған айырым осрағы:

${\displaystyle \Gamma (z)\;\Gamma \left(z+{\frac {1}{2}}\right)=2^{1-2z}\;{\sqrt {\pi }}\;\Gamma (2z).}$

Гамма-функцияның бөтә комплекслы яҫылыҡта нулдәре юҡ. ${\displaystyle \Gamma (z)}$ комплекслы яҫылыҡта мероморфлы булып тора һәм ${\displaystyle z=0,\;-1,\;-2,\;-3,\;\ldots }$ нөктәләрендә ябай полюстары бар.

Гамма-функцияның теләһә ниндәй натураль ${\displaystyle n}$ һәм нуль өсөн ${\displaystyle z=-n}$ нөктәһендә беренсе тәртиптәге полюсы бар; был нөктәлә ҡалдыҡ шулай билдәләнә:

${\displaystyle \operatorname {\mathrm {Res} } _{z=-n}\,\Gamma (z)={\frac {(-1)^{n}}{n!}}}$.

Файҙалы үҙсәнлек, уны сикләмәле билдәләмәнән килтереп сығарырға мөмкин:

${\displaystyle {\overline {\Gamma (z)}}=\Gamma ({\overline {z}})}$.

Гамма-функция сикһеҙ күп тапҡыр дифференциалланыусы функция, һәм ${\displaystyle \Gamma ^{\prime }(x)=\psi (x)\Gamma (x)}$, бында ${\displaystyle \psi (x)}$, йыш ҡына «пси-функция» тип йәки дигамма-функция тип атайҙар. Гамма-функция һәм бета-функция түбәндәге нисбәт менән бәйләнгәндәр:

${\displaystyle \mathrm {B} (x,\;y)={\frac {\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}}$.

Гамма-функция логарифмы

Бик күп сәбәптәр буйынса гамма-функция менән бер рәттән йыш ҡына гамма-функцияның логарифммын — дигамма-функцияның сығарылмаһын ҡарайҙар. Уның өсөн түбәндәге интеграль күренештәр хас:

${\displaystyle \ln \Gamma (z)\,=\,\left(z-{\frac {1}{\,2\,}}\right)\!\ln z-z+{\frac {1}{\,2\,}}\ln 2\pi +\!\int \limits _{0}^{\,\infty }\!\left[{\frac {1}{e^{x}-1}}-{\frac {1}{x}}+{\frac {1}{2}}\right]{\frac {e^{-xz}}{x}}\,dx\,,\qquad \operatorname {Re} {z}>0}$

һәм

${\displaystyle \ln \Gamma (z)\,=\,\left(z-{\frac {1}{\,2\,}}\right)\!\ln z-z+{\frac {1}{\,2\,}}\ln 2\pi +2\!\int \limits _{0}^{\,\infty }\!{\frac {\,\operatorname {arctg} (x/z)\,}{e^{2\pi x}-1}}\,dx\,,\qquad \operatorname {Re} {z}>0}$

Был формулалар Жак Бине тарафынан 1839 йылда сығарылған (был формулаларҙы ярашлы рәүештә гамма-функцияның логарифмы өсөн Биненың беренсе һәм икенсе формулалары тип тә атайҙар)^[4]. Гамма-функцияның логарифмы өсөн бер аҙ икенсерәк интеграль формулалар Карл Йохан Мальмстендың, Матиаш Лерхтың һәм бер нисә башҡа математиктарҙың хеҙмәттәрендә лә күренә. Шулай, Карл Йохан Мальмстен, Жак Филипп Мари Биненың беренсе формулаһына оҡшаш формула сығарған^[4]

${\displaystyle \ln \Gamma (z)\,=\int \limits _{0}^{\,\infty }\!\left[z-1-{\frac {1-e^{-(z-1)x}}{1-e^{-x}}}\right]{\frac {e^{-x}}{x}}\,dx\,,\qquad \operatorname {Re} {z}>0}$

ә Матиах Лерх ошондай күренештәге бөтә интегралдарҙың да

${\displaystyle \int \limits _{0}^{\,\infty }\!{\frac {\,e^{2\pi x}\!\cos \varphi -1\,}{e^{4\pi x}-2e^{2\pi x}\!\cos \varphi +1}}\operatorname {arctg} {\frac {u}{x}}\;dx\,,\qquad 0<u\leqslant 1\,,\quad 0<\varphi <2\pi u}$

гамма-функцияның логарифмдарына ҡайтып ҡалыуын күрһәткән. Айырып әйткәндә, Биненың икенсе формулаһына оҡшаш формула түбәндәге күренештә:

${\displaystyle \ln \Gamma (z)=-{\biggl (}z-{\frac {1}{2}}{\biggr )}\cdot \left\{1-\ln {\biggl (}z-{\frac {1}{2}}{\biggr )}\!\right\}+{\frac {1}{2}}\ln 2\pi -\,2\!\int \limits _{0}^{\infty }\!{\frac {\operatorname {arctg} {\big [}x/{\big (}z-{\tfrac {1}{2}}{\big )}{\big ]}}{e^{2\pi x}+1}}\,dx,\qquad \operatorname {Re} {z}>{\frac {1}{2}}}$

(40-сы күнегеүҙе ҡара^[5])

Бынан тыш, Карл Йохан Мальмстен шулай уҡ гамма-функцияның логарифмы өсөн бер нисә интеграль формула сығарған, унда интеграл аҫты аңлатмаһында логарифмлы гиперболик функциялар бар (йәки шул уҡ полиномамлы логарифм логарифмы). Айырып әйткәндә,

${\displaystyle \ln \Gamma (z)=\,{\frac {1}{2}}\ln \pi \,-\,{\frac {1}{2}}\ln \sin \pi z\,-\,{\frac {2z-1}{2}}\ln 2\pi \,-\,{\frac {\sin 2\pi z}{2\pi }}\!\int \limits _{0}^{\infty }\!\!{\frac {\,\ln {x}\,}{\,\operatorname {ch} {x}-\cos 2\pi z\,}}\,dx\,,\qquad 0<\operatorname {Re} z<1}$

(см. упр. 2, 29-h, 30 в^[5])

Ярослав Благушин ${\displaystyle z=k/n}$ рациональ аргументы өсөн, бында ${\displaystyle k}$ һәм ${\displaystyle n}$ ыңғай бөтөн һандар, һәм ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$-дан ҙур түгел, түбәндәге формулаларҙың дөрөҫ булыуын күрһәткән:

${\displaystyle \ln \Gamma {\biggl (}\!{\frac {k}{n}}\!{\biggr )}={\frac {(n-2k)\ln 2\pi }{2n}}+{\frac {1}{2}}\left\{\ln \pi -\ln \sin {\frac {\pi k}{n}}\right\}+}$

${\displaystyle +{\frac {1}{\pi }}\!\sum _{r=1}^{n-1}{\frac {\gamma +\ln {r}}{r}}\cdot \sin {\frac {2\pi rk}{n}}-{\frac {1}{2\pi }}\sin {\frac {2\pi k}{n}}\cdot \!\int \limits _{0}^{\infty }\!\!{\frac {\,e^{-nx}\!\cdot \ln {x}\,}{\,\operatorname {ch} {x}-\cos {\dfrac {2\pi k}{n}}\,}}\,dx\,,\qquad k\neq {\frac {n}{2}}}$

(C ҡушымтаһын ҡара^[6], шулай уҡ 60 һәм 58-се күнегеүҙәрҙе ҡара^[5])

Улай ғына түгел, интеграл аҫты аңлатмаһында логарифмлы гиперболик функциялар (йәки арктангенс) ингән интегралдар дөйөм осраҡта, йыш ҡына гамма-функцияның логарифмына һәм уның сығарылмаһына (полигамма-функция) ҡайтып ҡалалар, шул иҫәптән комплекслы аргументлы, мәҫәлән 4-b, 7-а и 13-b күнегеүҙәрен ҡара^[5].

Гамма-функция логарифмы шулай уҡ дөйөмләштерелгән дзета-функцияның аналитик дауамы менән тығыҙ бәйләнгән

${\displaystyle \ln \Gamma (z)=\zeta '(0,z)-\zeta '(0)=\zeta '(0,z)+{\frac {1}{2}}\ln 2\pi }$

Лерх Матиаш Лерх сығарған был мөһим бәйләнеш,дөйөмләштерелгән дзета функция өсөн билдәле формулалар аша гамма-функцияның логарифмы өсөн күп һанда интеграль күренештәр алырға мөмкинлек бирә.

Гамма-функция логарифмы өсөн Фурье рәте түбәндәге күренештә

${\displaystyle \ln \Gamma (x)=\left({\frac {1}{2}}-x\right)(\gamma +\ln 2)+(1-x)\ln \pi -{\frac {1}{2}}\ln \sin \pi x+{\frac {1}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin 2\pi nx\cdot \ln {n}}{n}}\,,\qquad 0<x<1}$

Был формуланы ғәҙәттә, уны 1847 йылда сығарған Эрнст Куммерҙыҡы тип һанайҙар, (авторитетлы әҙәбиәттә^[4][7][8] был рәтте хатта гамма-функция логарифмы өсөн Куммер рәте тип атайҙар). Ләкин күптән түгел был формуланың Карл Мальмстен тарафынан 1842 йылда уҡ сығарылғанлығы асыҡлана (ҡара. Ярослав Благушин^[5]).

Фурье рәтенә тарҡалмаһынан тыш, башҡа рәттәргә лә тарҡалмаһы бар. Киң билдәлеләрҙән Джеймс Стирлинг рәте

${\displaystyle \ln \Gamma (z)=\left(z-{\frac {1}{\,2\,}}\right)\!\ln z-z+{\frac {1}{\,2\,}}\ln 2\pi +\sum _{n=1}^{N}{\frac {B_{2n}}{2n(2n-1)z^{2n-1}}}+O(z^{-2N-1})\,,\qquad |\arg z|<{\frac {\pi }{2}}}$

Уның стандарт вариацияһында

${\displaystyle \ln \Gamma (z)=z\ln z+O(z)}$

бында ${\displaystyle B_{2n}}$ коэффициенттары Бернулли һандарын аңлата.

Вейерштрасс буйынса гамма-функция билдәләмәһенән рәт менән тағы бер мөһим формула килеп сыға^[9]

${\displaystyle \ln \Gamma (z)=-\gamma z-\ln z+\sum _{n=1}^{\infty }\left[{\frac {z}{n}}-\ln \!\left(1+{\frac {z}{n}}\right)\right]}$.

Айырым ҡиммәттәре

Бөтөн һәм ярым бөтөн аргументтарҙың гамма-функциялары элементар функциялар аша күрһәтелә. Айырып әйткәндә

${\displaystyle \Gamma (1)=0!=1}$

${\displaystyle \Gamma (2)=1!=1}$

${\displaystyle \Gamma (3)=2!=2}$

${\displaystyle \Gamma (4)=3!=6}$

${\displaystyle \Gamma (5)=4!=24}$

${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}.}$

${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {3}{2}}\right)={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}.}$

${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {5}{2}}\right)={\tfrac {3}{4}}{\sqrt {\pi }}.}$

${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {7}{2}}\right)={\tfrac {15}{8}}{\sqrt {\pi }}.}$

${\displaystyle \Gamma \left(-{\tfrac {1}{2}}\right)=-2{\sqrt {\pi }}.}$

${\displaystyle \Gamma \left(-{\tfrac {3}{2}}\right)={\tfrac {4}{3}}{\sqrt {\pi }}.}$

${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{2}}+n\right)={(2n)! \over 4^{n}n!}{\sqrt {\pi }}={\frac {(2n-1)!!}{2^{n}}}\,{\sqrt {\pi }}={\sqrt {\pi }}\cdot \left[{n-{\frac {1}{2}} \choose n}n!\right]}$

${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{2}}-n\right)={(-4)^{n}n! \over (2n)!}{\sqrt {\pi }}={\frac {(-2)^{n}}{(2n-1)!!}}\,{\sqrt {\pi }}={\sqrt {\pi }}/\left[{-{\frac {1}{2}} \choose n}n!\right]}$

Гамма-функцияның 1/4 и 1/3 нөктәләрендә ҡиммәттәрен эҙләү Эйлер, Гаусс һәм Лежандрҙың ентекле эҙләнеү объекты булып тора, әммә уларға был ҡиммәттәрҙе йомоҡ күренештә иҫәпләү насип булмай^[10].

Γ(1/4) өсөн йомоҡ күренештә түбәндәге күҙаллауҙар бар

${\displaystyle \Gamma ({\tfrac {1}{4}})={\sqrt {\frac {(2\pi )^{\frac {3}{2}}}{\mathrm {AGM} ({\sqrt {2}},1)}}}}$

${\displaystyle \Gamma ({\tfrac {1}{4}})=(2\pi )^{\frac {3}{4}}\prod _{k=1}^{\infty }\mathrm {th} \left({\frac {\pi k}{2}}\right)}$

${\displaystyle \Gamma ({\tfrac {1}{4}})=A^{3}e^{-{\frac {G}{\pi }}}{\sqrt {\pi }}2^{\frac {1}{6}}\prod _{k=1}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{2k}}\right)^{k(-1)^{k}}}$

бында AGM — арифметик-геометрик урта функция, G — Каталан даимиһы һәм A — Глейшер—Кинкелин даимиһы.

Дөйөмләштреү

Гамма-функцияның классик интеграль билдәләмәһендә интеграллау сиктәре билдәләп ҡуйылған. Шулай уҡ тулы булмаған гамма-функцияны ҡарайҙар, ул өҫкө йәки аҫҡы интеграллау сиге үҙгәреүсәнле шундай уҡ интеграл менән билдәләнә. Өҫкө тулы булмаған гамма-функцияны айырып ҡарайҙар, йыш ҡына ике үҙгәреүсәнле гамма-функция итеп тамғалайҙар:

${\displaystyle \Gamma (a,z)=\int \limits _{\mathrm {z} }^{\infty }\!{e^{-t}t^{a-1}\,dt}}$

һәм аҫҡы тулы булмаған гамма-функцияны айырып ҡарайҙар, оҡшаш рәүештә «гамма» бәләкәй хәреф менән тамғалана:

${\displaystyle \gamma (a,z)=\int \limits _{0}^{\mathrm {z} }\!{e^{-t}t^{a-1}\,dt}}$.

Ҡайһы беерҙә тулы булмаған гамма функцияны ошолай билдәләйҙәр^[11]:

${\displaystyle I(z,a)={\frac {1}{\Gamma (a)}}\int \limits _{0}^{\mathrm {z} }\!{e^{-t}t^{a-1}\,dt}}$.