Кире тригонометрик функциялар

Кире тригонометрик функциялар (түңәрәк функцияһы, аркфункциялар) — тригонометрик функцияларға кире булған математик функциялар. Кире тригонометрик функцияларға ғәҙәттә алты функцияны индерәләр:

• арксинус (тамғаланышы${\displaystyle$ :\mathrm {arcsin} \,x;\mathrm {arcsin} \,x}  — ул синусы ${\displaystyle x}$-ҡа тигеҙ булған мөйөш.)
• арккосинус (тамғаланышы: ${\displaystyle \mathrm {arccos} \,x;\mathrm {arccos} \,x}$ — ул косинусы ${\displaystyle x}$-ҡа тигеҙ булған мөйөш.)
• арктангенс (тамғаланышы: ${\displaystyle \mathrm {arctg} \,x}$; сит тел әҙәбиәтендә ${\displaystyle \mathrm {arctan} \,x}$)
• арккотангенс (тамғаланышы: ${\displaystyle \mathrm {arcctg} \,x}$; сит тел әҙәбиәтендә ${\displaystyle \mathrm {arccot} \,x}$ йәки ${\displaystyle \mathrm {arccotan} \,x}$)
• арксеканс (тамғаланышы: ${\displaystyle \mathrm {arcsec} \,x}$)
• арккосеканс (тамғаланышы: ${\displaystyle \mathrm {arccosec} \,x}$; сит тел әҙәбиәтендә ${\displaystyle \mathrm {arccsc} \,x}$)

Кире тригонометрик функциялар
Вики-проект	Проект:Математика[d]
Обратно к	тригонометрик функциялар
Кире тригонометрик функциялар Викимилектә

Кире тригонометрик функцияларҙың исемдәре уларға ярашлы тригонометрик функцияларҙың исемдәренә «арк-» (лат. arcus — дуға) приставкаһын ҡушып барлыҡҡа килгән. Был шуның менән бәйле, геометрик ысул менән кире тригонометрик функцияның ҡиммәтен теге йәки был киҫеккә ярашлы берәмек әйләнәһе дуғаһы оҙонлоғо (йәки был дуғаны тартып торған мөйөш) менән бәйләргә була. Мәҫәлән, ғәҙәти синус әйләнәнең дуғаһы буйынса уны тартып торған хорданы табырға мөмкинлек бирә, ә кире функция ҡапма-ҡаршы мәсьәләне хәл итә. Кире тригонометрик функцияларҙы шулай итеп тамғалау манераһы Австрия математигы Карл Шерферҙа (нем. Karl Scherffer; 1716—1783) барлыҡҡа килгән һәм Лагранж арҡаһында нығынған. Беренсе тапҡыр кире тригонометрик функциялар өсөн махсус символды 1729 йылда Даниил Бернулли ҡулланған. Инглиз һәм немец математика мәктәптәре XIX быуат аҙағына тиклем икенсе төрлө тамғалау тәҡдим итә: ${\displaystyle \sin ^{-1},{\frac {1}{\sin }}}$, ләкин улар нығына алмай^[1]. Һирәк кенә сит ил әҙәбиәтендә, шулай уҡ ғилми/инженер калькуляторҙарҙа, арксинус, арккосинус һәм башҡалар өсөн ${\displaystyle \sin ^{-1},{\frac {1}{\sin }}}$ тибындағы тамғалауҙар ҡулланыла^[2], — ундай яҙыу бик уңай түгел, сөнки функцияны −1-се дәрәжәгә күтәреү менән буталыш килеп сығырға мөмкин.

Тригонометрик функциялар периодлы, шуға күрә уларға кире функциялар күп ҡиммәтле. Йәғни, аркфункцияның ҡиммәте мөйөштәр (дуғалар) күмәклегенән ғибәрәт, уларҙың бөтәһенең дә ярашлы тригонометрик функция ҡиммәте бирелгән һанға тигеҙ. Мәҫәлән, ${\displaystyle \arcsin 1/2}$, синустары ${\displaystyle 1/2}$-гә тигеҙ булған ${\displaystyle \left({\frac {\pi }{6}},{\frac {5\pi }{6}},{\frac {13\pi }{6}},{\frac {17\pi }{6}}\dots ~(30^{\circ },150^{\circ },390^{\circ },510^{\circ }\dots )\right)}$ мөйөштәр күмәклеге тигәнде аңлата. Һәр аркфункция ҡиммәттәре күмәклегенән уның төп ҡиммәтен айырып алалар (ҡара: аркфункцияның төп ҡиммәттәре графиктары түбәндә), ғәҙәттә, арксинус, арккосинус һ. б. тураһында һөйләгәндә шул ҡиммәттәрҙе күҙ уңында тоталар. Дөйөм осраҡта,${\displaystyle -1\leqslant \alpha \leqslant 1}$ булғанда ${\displaystyle \sin x=\alpha }$ тигеҙләмәһенең бөтә сиселештәрен түбәндәге күренештә күрһәтергә мөмкин: ${\displaystyle x=(-1)^{n}\arcsin \alpha +\pi n,~n=0,\pm 1,\pm 2,\dots ~.}$^[3]

Төп нисбәттәр

${\displaystyle \arcsin x+\arccos x={\frac {\pi }{2}}}$

${\displaystyle \operatorname {arctg} \,x+\operatorname {arcctg} \,x={\frac {\pi }{2}}}$

Arcsin функцияһы

${\displaystyle y=\arcsin x}$ функцияһының графигы.

m һанының арксинусы тип x мөйөшөнөң радиандарҙа сағылдырылған шундай ҡиммәте атала, уның өсөн ${\displaystyle \sin x=m,\,-{\frac {\pi }{2}}\leqslant x\leqslant {\frac {\pi }{2}},\,|m|\leqslant 1.}$

${\displaystyle y=\sin x}$ функцияһы өҙлөкһөҙ һәм бөтә һанлы тура һыҙыҡта сикләнгән функция. ${\displaystyle y=\arcsin x}$ ҡәтғи үҫә барыусы функция.

• ${\displaystyle -1\leqslant x\leqslant 1}$ булғанда, ${\displaystyle \sin(\arcsin x)=x\qquad }$
• ${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}\leqslant y\leqslant {\frac {\pi }{2}}}$ булғанда, ${\displaystyle \arcsin(\sin y)=y\qquad }$
• ${\displaystyle D(\arcsin x)=[-1;1]\qquad }$ (билдәләнеү өлкәһе),
• ${\displaystyle E(\arcsin x)=\left[-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right]\qquad }$ (ҡиммәттәре өлкәһе).

Arcsin функцияһы үҙсәнлектәре

• ${\displaystyle \arcsin(-x)=-\arcsin x\qquad }$ (таҡ функция).
• ${\displaystyle 0<x\leqslant 1}$ булғанда, ${\displaystyle \arcsin x>0}$
• ${\displaystyle x=0.}$ булғанда, ${\displaystyle \arcsin x=0}$
• ${\displaystyle -1\leqslant x<0.}$ булғанда, ${\displaystyle \arcsin x<0}$
• ${\displaystyle \arcsin x=\left\{{\begin{matrix}\arccos {\sqrt {1-x^{2}}},\qquad 0\leqslant x\leqslant 1\\-\arccos {\sqrt {1-x^{2}}},\qquad -1\leqslant x<0\end{matrix}}\right.}$
• ${\displaystyle \arcsin x=\operatorname {arctg} {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$
• ${\displaystyle \arcsin x=\left\{{\begin{matrix}\operatorname {arcctg} \,{\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}},\qquad 0<x\leqslant 1\\\operatorname {arcctg} \,{\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}-\pi ,\qquad -1\leqslant x<0\end{matrix}}\right.}$

Arcsin функцияһының килеп сығыуы

${\displaystyle y=\sin x}$ функцияһын ҡарайыҡ. Ул үҙенең бөтә билдәләнеү өлкәһендә өлөшләтә монотон функция, тимәк, ${\displaystyle y=\arcsin x}$ кире сағылышы функция була алмай. Шуға күрә беҙ функция ҡәтғи үҫә барған һәм үҙенең бөтә ҡиммәттәрен ҡабул иткән киҫекте — ${\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right]}$ ҡарайбыҙ. ${\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right]}$ киҫегендә ${\displaystyle y=\sin x}$ монотон үҫә һәм үҙенең бөтә ҡиммәттәрен бер тапҡыр ғына ҡабул итә, тимәк, ${\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right]}$ киҫегендә ${\displaystyle y=\sin x}$ функцияһы өсөн ${\displaystyle y=\arcsin x}$ кире функцияһы бар, уның графигы ${\displaystyle y=\sin x}$ функцияһының графигына ${\displaystyle y=x}$ тура һыҙығына ҡарата симметрик (${\displaystyle Oxy}$ координаталар яҫылығында үҙ-ара кире функцияларҙың графиктары беренсе һәм өсөнсө координаталар мөйөштәренең биссектрисаларына ҡарата симметрик)

Arccos функцияһы

${\displaystyle y=\arccos x}$ функцияһының графигы

m һанының арккосинусы тип x мөйөшөнөң радиандарҙа сағылдырылған шундай ҡиммәте атала, уның өсөн ${\displaystyle \cos x=m,\qquad 0\leqslant x\leqslant \pi ,|m|\leqslant 1.}$

${\displaystyle y=\cos x}$ функцияһы өҙлөкһөҙ һәм бөтә һанлы тура һыҙыҡта сикләнгән функция. ${\displaystyle y=\arccos x}$ функцияһы ҡәтғи кәмеүсе функция булып тора.

• ${\displaystyle \cos(\arccos x)=x}$, бында ${\displaystyle -1\leqslant x\leqslant 1,}$
• ${\displaystyle \arccos(\cos y)=y}$, бында ${\displaystyle 0\leqslant y\leqslant \pi .}$
• ${\displaystyle D(\arccos x)=[-1;1],}$ (билдәләнеү өлкәһе),
• ${\displaystyle E(\arccos x)=[0;\pi ].}$(ҡиммәттәре өлкәһе).

Arccos функцияһы үҙсәнлектәре

• ${\displaystyle \arccos(-x)=\pi -\arccos x}$ (функцияның графигы ${\displaystyle \left(0;{\frac {\pi }{2}}\right)}$) нөктәһенә ҡарата үҙәк-симметрик), индифферентлы булып тора.
• ${\displaystyle -1\leqslant x<1.}$ булғанда ${\displaystyle \arccos x>0}$
• ${\displaystyle x=1.}$ булғанда ${\displaystyle \arccos x=0}$
• ${\displaystyle \arccos x={\frac {\pi }{2}}-\arcsin x.}$
• ${\displaystyle \arccos x=\left\{{\begin{matrix}\arcsin {\sqrt {1-x^{2}}},\qquad 0\leqslant x\leqslant 1\\\pi -\arcsin {\sqrt {1-x^{2}}},\qquad -1\leqslant x<0\end{matrix}}\right.}$
• ${\displaystyle \arccos x=\left\{{\begin{matrix}\operatorname {arctg} \,{\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}},\qquad 0<x\leqslant 1\\\pi +\operatorname {arctg} \,{\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}},\qquad -1\leqslant x<0\end{matrix}}\right.}$
• ${\displaystyle \arccos x=2\arcsin {\sqrt {\frac {1-x}{2}}}}$
• ${\displaystyle \arccos x=2\arccos {\sqrt {\frac {1+x}{2}}}}$
• ${\displaystyle \arccos x=2\operatorname {arctg} {\sqrt {\frac {1-x}{1+x}}}}$

Arccos функцияһының килеп сығыуы

${\displaystyle y=\cos x}$ функцияһын ҡарайыҡ. Ул үҙенең бөтә билдәләнеү өлкәһендә өлөшләтә монотон функция, тимәк,${\displaystyle y=\arccos x}$ кире сағылышы функция була алмай. Шуға күрә беҙ функция ҡәтғи кәмей барған һәм үҙенең бөтә ҡиммәттәрен ҡабул иткән киҫекте — ${\displaystyle [0;\pi ].}$ ҡарайбыҙ. Был киҫектә ${\displaystyle y=\cos x}$ монотон кәмей һәм үҙенең бөтә ҡиммәттәрен бер тапҡыр ғына ҡабул итә, тимәк, ${\displaystyle [0;\pi ].}$ киҫегендә ${\displaystyle y=\arccos x}$ кире функцияһы бар, уның графигы ${\displaystyle y=\cos x}$ функцияһының графигына ${\displaystyle y=x}$ тура һыҙығына ҡарата симметрик.

Arctg функцияһы

${\displaystyle y=\operatorname {arctg} \,x}$ функцияһының графигы

m һанының арктангенсы тип ${\displaystyle \alpha }$ мөйөшөнөң радиандарҙа сағылдырылған шундай ҡиммәте атала, уның өсөн ${\displaystyle \operatorname {tg} \,\alpha =m,\quad -{\frac {\pi }{2}}<\alpha <{\frac {\pi }{2}}.}$ ${\displaystyle y=\operatorname {arctg} x}$ функцияһы өҙлөкһөҙ һәм бөтә һанлы тура һыҙыҡта сикләнгән функция. ${\displaystyle y=\operatorname {arctg} x}$ ҡәтғи үҫә барыусы.

• ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ булғанда, ${\displaystyle \operatorname {tg} \,(\operatorname {arctg} \,x)=x}$
• ${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}<y<{\frac {\pi }{2}}}$ булғанда, ${\displaystyle \operatorname {arctg} \,(\operatorname {tg} \,y)=y}$
• ${\displaystyle D(\operatorname {arctg} \,x)=(-\infty$ ;\infty ),}
• ${\displaystyle E(\operatorname {arctg} \,x)=\left(-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right)}$

Arctg функцияһы үҙсәнлектәре

• ${\displaystyle \operatorname {arctg} (-x)=-\operatorname {arctg} x\qquad }$

• ${\displaystyle \operatorname {arctg} x=\arcsin {\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}}$

• ${\displaystyle \operatorname {arctg} x=\arccos {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}}$, бында x > 0.

• ${\displaystyle \operatorname {arctg} x=\operatorname {arcctg} {\frac {1}{x}}}$

• ${\displaystyle \operatorname {arctg} x=-i\operatorname {arcth} {ix}}$, бында ${\displaystyle \operatorname {arcth} }$ — гиперболик арктангенс.

• ${\displaystyle \operatorname {arcth} x=i\operatorname {arctg} {ix}}$

Arctg функцияһының килеп сығыуы

${\displaystyle y=\operatorname {tg} \,x.}$ функцияһын ҡарайыҡ. Ул үҙенең бөтә билдәләнеү өлкәһендә өлөшләтә монотон функция, һәм, шуға күрә, ${\displaystyle y=\operatorname {arctg} \,x}$ функция була алмай. Шуға күрә беҙ функция ҡәтғи үҫә барған һәм үҙенең бөтә ҡиммәттәрен бер генә тапҡыр ҡабул иткән киҫекте — ${\displaystyle \left(-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right).}$ ҡарайбыҙ. Был киҫектә ${\displaystyle y=\operatorname {tg} \,x}$ функцияһы ҡәтғи монотон үҫә барыусы һәм үҙенең бөтә ҡиммәттәрен бер генә тапҡыр ҡабул итә. Тимәк ${\displaystyle \left(-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right)}$ киҫегендә ${\displaystyle y=\operatorname {tg} \,x.}$ функцияһына кире функция ${\displaystyle y=\operatorname {arctg} \,x}$ бар. ${\displaystyle y=\operatorname {tg} \,x.}$ һәм ${\displaystyle y=\operatorname {arctg} \,x}$ функцияларының графиктары ${\displaystyle y=x.}$ тура һыҙығына ҡарата симметрик.

Arcctg функцияһы

${\displaystyle y=\operatorname {arcctg} x.}$ функцияһының графигы

m һанының арккотангенсы тип x мөйөшөнөң радиандарҙа сағылдырылған шундай ҡиммәте атала, уның өсөн ${\displaystyle \operatorname {ctg} \,x=m,\qquad 0<x<\pi .}$

${\displaystyle y=\operatorname {arcctg} \,x}$ функцияһы өҙлөкһөҙ һәм бөтә һанлы тура һыҙыҡта сикләнгән функция. ${\displaystyle y=\operatorname {arcctg} \,x}$ ҡәтғи кәмей барыусы функция.

• ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ,}$ булғанда ${\displaystyle \operatorname {ctg} \,(\operatorname {arcctg} \,x)=x}$
• ${\displaystyle 0<y<\pi ,}$ булғанда ${\displaystyle \operatorname {arcctg} \,(\operatorname {ctg} \,y)=y}$
• ${\displaystyle D(\operatorname {arcctg} \,x)=(-\infty$ ;\infty ),}
• ${\displaystyle E(\operatorname {arcctg} \,x)=(0;\pi ).}$

Arcctg функцияһы үҙсәнлектәре

• ${\displaystyle \operatorname {arcctg} \,(-x)=\pi -\operatorname {arcctg} \,x}$ (функцияның графигы ${\displaystyle \left(0;{\frac {\pi }{2}}\right).}$ нөктәһенә ҡарата үҙәк симметрик.
• Теләһә ниндәй ${\displaystyle x.}$ өсөн ${\displaystyle \operatorname {arcctg} \,x>0}$
• ${\displaystyle \operatorname {arcctg} \,x=\left\{{\begin{matrix}\arcsin {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}},\qquad x\geqslant 0\\\pi -\arcsin {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}},\qquad x<0\end{matrix}}\right.}$
• ${\displaystyle \operatorname {arcctg} x=\pi /2-\operatorname {arctg} x.}$

Arcctg функцияһының килеп сығыуы

${\displaystyle y=\operatorname {ctg} \,x}$ функцияһын ҡарайыҡ. Бөтә билдәләнеү өлкәһендә был функция өлөшсә монотон. Шуға күрә ${\displaystyle y=\operatorname {arcctg} \,x}$ кире ярашлылығы функция була алмай. Функция ҡәтғи кәмей барған һәм үҙенең бөтә ҡиммәттәрен бер генә тапҡыр ҡабул иткән — ${\displaystyle (0;\pi )}$ интервалын ҡарайбыҙ. Был интервалда ${\displaystyle y=\operatorname {ctg} \,x}$ монотон кәмей һәм үҙенең бөтә ҡиммәттәрен бер генә тапҡыр ҡабул итә. Тимәк, ${\displaystyle (0;\pi )}$ интервалында ${\displaystyle y=\operatorname {ctg} \,x}$ функцияһына кире ${\displaystyle y=\operatorname {arcctg} \,x}$ функцияһы бар, уның графигы ${\displaystyle y=\operatorname {ctg} \,x}$ функцияһының графигына ${\displaystyle y=x.}$ тура һыҙығына ҡарата симметрик.

Арккотангенстың графигы арктангенс графигынан, һуңғыһын ордината күсәренә ҡарата сағылдырғанда (йәғни аргументтың тамғаһын үҙгәрткәндә, ${\displaystyle x\rightarrow -x}$) һәм өҫкә π/2 берәмеккә күсергәндә килеп сыға; был үрҙәге: ${\displaystyle \operatorname {arcctg} x=\operatorname {arctg} (-x)+\pi /2.}$ формулаһынан килеп сыға.

Arcsec функцияһы

${\displaystyle \mathop {\operatorname {arcsec} } \,(x)\,=\operatorname {arccos} \left({\frac {1}{x}}\right)}$

Arccosec функцияһы

${\displaystyle \mathop {\operatorname {arccosec} } \,(y)\,=\operatorname {arcsin} \left({\frac {1}{y}}\right)}$

Кире тригонометрик функцияларҙың сығарылмалары

${\displaystyle (\arcsin x)'={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}.}$
${\displaystyle (\arccos x)'=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}.}$
${\displaystyle (\operatorname {arctg} \,x)'={\frac {1}{\ 1+x^{2}}}.}$
${\displaystyle (\operatorname {arcctg} \,x)'=-{\frac {1}{\ 1+x^{2}}}.}$
${\displaystyle (\operatorname {arcsec} \,x)'={1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}.}$
${\displaystyle (\operatorname {arccosec} \,x)'=-{1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}.}$

Кире тригонометрик функциялар интегралдары

Аныҡһыҙ интегралдар

Ысын һәм комплекслы x өсөн:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \arcsin x\,dx&{}=x\,\arcsin x+{\sqrt {1-x^{2}}}+C,\\\int \arccos x\,dx&{}=x\,\arccos x-{\sqrt {1-x^{2}}}+C,\\\int \operatorname {arctg} \,x\,dx&{}=x\,\operatorname {arctg} \,x-{\frac {1}{2}}\ln \left(1+x^{2}\right)+C,\\\int \operatorname {arcctg} \,x\,dx&{}=x\,\operatorname {arcctg} \,x+{\frac {1}{2}}\ln \left(1+x^{2}\right)+C,\\\int \operatorname {arcsec} x\,dx&{}=x\,\operatorname {arcsec} x-\ln \left(x\left(1+{\sqrt {{x^{2}-1} \over x^{2}}}\,\right)\!\right)+C,\\\int \operatorname {arccosec} \,x\,dx&{}=x\,\operatorname {arccosec} \,x+\ln \left(x\left(1+{\sqrt {{x^{2}-1} \over x^{2}}}\,\right)\!\right)+C.\end{aligned}}}$

Ысын x ≥ 1 өсөн:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \operatorname {arcsec} x\,dx&{}=x\,\operatorname {arcsec} x-\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+C,\\\int \operatorname {arccosec} \,x\,dx&{}=x\,\operatorname {arccosec} \,x+\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+C.\end{aligned}}}$

Шулай уҡ ҡарағыҙ: Кире тригонометрик функциялар интегралдары исемлеге

Геометрияла ҡулланылышы

Тура мөйөшлө өсмөйөш ABC

Кире тригонометрик функциялар, әгәр өсмөйөштөң яҡтары билдәле булһа, өсмөйөш мөйөштәрен иҫәпләү өсөн ҡулланыла, мәҫәлән, косинус теоремаһы ярҙамында.

Тура мөйөшлө өсмөйөштә был функциялар яҡтарының сағыштырмаһынан шунда уҡ мөйөштәрен бирәләр. Мәҫәлән, әгәр ${\displaystyle a}$ оҙонлоғондағы катет ${\displaystyle \alpha }$ мөйөшөнә ҡаршы ятыусы катет булһа, ул саҡта ${\displaystyle \alpha =\arcsin(a/c)=\arccos(b/c)=\operatorname {arctg} (a/b)=\operatorname {arccosec} (c/a)=\operatorname {arcsec}(c/b)=\operatorname {arcctg} (b/a).}$.

Натураль логарифм менән бәйләнеш

Комплекслы аргументтың кире тригонометрик функцияһын иҫәпләү өсөн, уларҙы натураль логарифм аша күрһәтеүсе формулаларҙы ҡулланыу уңайлы:

${\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin z&{}=-i\ln(iz+{\sqrt {1-z^{2}}})={\frac {\pi }{2}}-i\ln(z+{\sqrt {z^{2}-1}}),\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\arccos z&{}={\dfrac {\pi }{2}}+i\ln(iz+{\sqrt {1-z^{2}}}),\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arctg} \,z&{}={\dfrac {i}{2}}(\ln(1-iz)-\ln(1+iz)),\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcctg} \,z&{}={\dfrac {i}{2}}\left(\ln \left({\dfrac {z-i}{z}}\right)-\ln \left({\dfrac {z+i}{z}}\right)\right),\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcsec} z&{}=\arccos \left(z^{-1}\right)={\dfrac {\pi }{2}}+i\ln \left({\sqrt {1-{\dfrac {1}{z^{2}}}}}+{\dfrac {i}{z}}\right),\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arccosec} \,z&{}=\arcsin \left(z^{-1}\right)=-i\ln \left({\sqrt {1-{\dfrac {1}{z^{2}}}}}+{\dfrac {i}{z}}\right).\end{aligned}}}$