Эйлер тождествоһы (комплекслы анализ)

Эйлер тождествоһы — биш фундаменталь математик константаларҙы бәйләүсе билдәле тождество:

${\displaystyle e^{i\pi }+1=0,}$

Был терминдың башҡа мәғәнәләре лә бар, ҡарағыҙ: Список объектов, названных в честь Леонарда Эйлера.

e^z экспоненциаль функцияһына (1 + z/N)^N эҙмә-эҙлелегенең N сикһеҙлеккә ынтылғанда сикләнмәһе тип билдәләмә бирергә мөмкин, шуға күрә e^iπ (1 + iπ/N)^N-ның сикләнмәһе. Был анимацияның һәр кадрында (1 + iπ/N)^k һандары һүрәтләнгән, бында k 0-дән N-ға тиклем урап сыға, ә N 1-ҙән 100-гә тиклем төрлө арта барыусы ҡиммәттәр ҡабул итә.

бында

${\displaystyle e}$ — е һаны, йәки натураль логарифмдың нигеҙе,

${\displaystyle i}$ — уйланма берәмек,

${\displaystyle \pi }$ — пи, әйләнә оҙонлоғоноң уның диаметры оҙонлоғона сағыштырмаһы,

${\displaystyle 1}$ — берәмек, ҡабатлау операцияһы буйынса нейтраль элемент,

${\displaystyle 0}$ — нуль, ҡушыу операцияһы буйынса нейтраль элемент.

Тарихы

Эйлер формулаһынан шунда уҡ килеп сыҡҡан был тождество Эйлер тарафынан 1740 йылда баҫтырып сығарыла. Тождество фәнни донъяға тәрән тәьҫир яһай. Хатта уны математиканың берҙәмлегенең символы кеүек итеп мистик аңлатырға маташыуҙар була: 0 һәм 1 арифметикаға ҡарай, уйланма берәмек — алгебраға, ${\displaystyle \pi }$ һаны — геометрияға, ә e һаны — математик анализға^[1].

Һығымта

Эйлер тождествоһы — комплекслы анализдан Эйлер формулаһының үҙенә башҡа осрағы:

теләһә ниндәй ысын ${\displaystyle x}$ өсөн ${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x}$.

(${\displaystyle \sin }$ һәм ${\displaystyle \cos }$ тригонометрик функцияларының аргументтары радиандарҙа алыныуын билдәләп китәйек). Атап әйткәндә

${\displaystyle e^{i\pi }=\cos \pi +i\sin \pi .}$

${\displaystyle \cos \pi =-1}$

һәм

${\displaystyle \sin \pi =0,}$

булғанлыҡтан,

${\displaystyle e^{i\pi }=-1}$

булыуы килеп сыға, бынан тождество килеп сыға:

${\displaystyle e^{i\pi }+1=0.}$

Мәҙәниәттә

• Такаси Коидзуми^[en] фильмы Эйлер тождествоһына арналған «Любимое уравнение профессора^[en]».