Яҫылыҡ

Яҫылыҡ — геометрияның төп төшөнсәләренең береһе. Геометрияның логик төҙөлөшөндә яҫылыҡ төшөнсәһе тәүге төшөнсәләрҙең береһе итеп ҡабул ителә, ул геометрияның аксиомалары аша ситләтеп кенә билдәләнә.

Яҫылыҡ
Ҡайҙа өйрәнелә	стереометрия[d]
Закон йәки теорема формулаһы	${\displaystyle \mathbf {n} \cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})=0}$
Обозначение в формуле	${\displaystyle \mathbf {n} }$ һәм ${\displaystyle \mathbf {r} _{0}}$
Вики-проект	Проект:Математика[d]
Яҫылыҡ Викимилектә

Ике киҫешеүсе яҫылыҡ

Яҫылыҡ — тура һыҙыҡтан ғибәрәт булған төҙөүсене йүнәлтеүсе тура һыҙыҡ буйлап кинематик хәрәкәт иттергәндә барлыҡҡа килгән йөҙ йәки фигура (һыҙма геометрия).

Яҫылыҡтың ҡайһы бер характерлы үҙсәнлектәре

• Яҫылыҡ — уның теләһә ниндәй нөктәләрен тоташтырыусы һәр тура һыҙыҡ тулыһынса унда ятҡан йөҙ;
• Ике Яҫылыҡ йә параллель, йәки тура һыҙыҡ буйлап киҫешә.
• Прямая либо параллельна плоскости, либо пересекает её в одной точке, либо находится на плоскости.
• Бер үк яҫылыҡҡа перпендикуляр булған ике тура һыҙыҡ бер-береһенә параллель.
• Бер үк тура һыҙыҡҡа перпендикуляр булған ике яҫылыҡ бер-береһенә параллель.

Яҫылыҡ һәм уның ике нормаль векторы: n₁ и n₂

Яҫылыҡ тигеҙләмәһе

Беренсе булып А. К. Клеро хеҙмәттәрендә осрай (1731).

Яҫылыҡтың киҫектәрҙә тигеҙләмәһе, күренеүенсә, беренсе булып Г. Ламе хеҙмәттәрендә осрай (1816—1818).

Нормаль тигеҙләмәне Л. О. Гессе индергән (1861).

Яҫылыҡ — беренсе тәртиптәге алгебраик йөҙ: координаталарҙың декарт системаһында яҫылыҡ беренсе дәрәжә тигеҙләмә менән бирелә.

• Яҫылыҡтың дөйөм (тулы) тигеҙләмәһе

${\displaystyle Ax+By+Cz+D=0\qquad (1)}$

бында ${\displaystyle A,B,C}$ һәм ${\displaystyle D}$ — һандар, шуның менән бергә ${\displaystyle A,B}$ һәм ${\displaystyle C}$ бер үк ваҡытта нулгә тигеҙ түгел; Векторлы формала:

${\displaystyle (\mathbf {r} ,\mathbf {N} )+D=0}$

бында ${\displaystyle \mathbf {r} }$ — ${\displaystyle M(x,y,z)}$ нөктәһенең радиус-векторы, ${\displaystyle \mathbf {N} =(A,B,C)}$ векторы яҫылыҡҡа перпендикуляр (нормаль вектор). ${\displaystyle \mathbf {N} }$ векторының йүнәлтеүсе косинустары:

${\displaystyle \cos \alpha ={\frac {A}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}},}$

${\displaystyle \cos \beta ={\frac {B}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}},}$

${\displaystyle \cos \gamma ={\frac {C}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}}.}$

Әгәр яҫылыҡ тигеҙләмәһендә коэффициенттарҙың береһе нулгә тигеҙ булһа, тигеҙләмә тулы булмаған тигеҙләмә тип атала. ${\displaystyle D=0}$ булғанда яҫылыҡ координаталар башы аша үтә, ${\displaystyle A=0}$ (йәки ${\displaystyle B=0}$, ${\displaystyle C=0}$) булһа яҫылыҡ ${\displaystyle Ox}$ (ярашлы рәүештә ${\displaystyle Oy}$ йәки ${\displaystyle Oz}$) күсәренә параллель була. Әгәр ${\displaystyle A=B=0}$ (${\displaystyle A=C=0}$, йәки ${\displaystyle B=C=0}$) булһа, яҫылыҡ ${\displaystyle Oxy}$ (ярашлы рәүештә ${\displaystyle Oxz}$ йәки ${\displaystyle Oyz}$) яҫылығына параллель була.

• Яҫылыҡтың киҫектәрҙә тигеҙләмәһе:

${\displaystyle {\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}}+{\frac {z}{c}}=1,}$

бында ${\displaystyle a=-D/A}$, ${\displaystyle b=-D/B}$, ${\displaystyle c=-D/C}$ — яҫылыҡ тарафынан ${\displaystyle Ox,Oy}$ һәм ${\displaystyle Oz}$ күсәрҙәренән киҫеп алынған киҫектәр.

• ${\displaystyle \mathbf {N} (A,B,C)}$ нормаль векторға перпендикуляр булған, ${\displaystyle M(x_{0},y_{0},z_{0})}$ нөктәһе аша үткән яҫылыҡтың тигеҙләмәһе:

${\displaystyle A(x-x_{0})+B(y-y_{0})+C(z-z_{0})=0;}$

векторлы формала:

${\displaystyle ((\mathbf {r} -\mathbf {r_{0}} ),\mathbf {N} )=0.}$

• Бер тура һыҙыҡта ятмаған бирелгән өс ${\displaystyle M(x_{i},y_{i},z_{i})}$ нөктә аша үткән яҫылыҡ тигеҙләмәһе:

${\displaystyle ((\mathbf {r} -\mathbf {r_{1}} ),(\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{1}} ),(\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{1}} ))=0}$

(векторҙарҙың ҡатнаш ҡабатландығы), башҡаса

${\displaystyle \left|{\begin{matrix}x-x_{1}&y-y_{1}&z-z_{1}\\x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_{1}\\x_{3}-x_{1}&y_{3}-y_{1}&z_{3}-z_{1}\\\end{matrix}}\right|=0.}$

• Яҫылыҡтың нормаль (нормалаштырылған) тигеҙләмәһе

${\displaystyle x\cos \alpha +y\cos \beta +z\cos \gamma -p=0\qquad (2)}$

векторлы формала:

${\displaystyle (\mathbf {r} ,\mathbf {N^{0}} )\mathbf {-p} =0,}$

бында ${\displaystyle \mathbf {N^{0}} }$- берәмек вектор, ${\displaystyle p}$ — яҫылыҡтың координаталар башынан алыҫлығы. (2) тигеҙләмә (1) тигеҙләмәнән нормалаштырыусы ҡабатлашыусыға ҡабатлап килеп сыға

${\displaystyle \mu =\pm {\frac {1}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}}}$

(${\displaystyle \mu }$ һәм ${\displaystyle D}$ тамғалары ҡапма-ҡаршы).

Нөктә һәм нормаль вектор буйынса билдәләмә

Өс үлсәмле арауыҡта яҫылыҡты билдәләүҙең мөһим ысулдарының береһе булып яҫылыҡта ятҡан нөктәне һәм уға нормаль векторҙы күрһәтеү тора.

${\displaystyle r_{0}}$ — яҫылыҡта бирелгән ${\displaystyle P_{0}}$ нөктәһенең радиус-векторы булһын, ти, һәм n — яҫылыҡҡа перпендикуляр булған (нормаль) нулдән айырмалы вектор булһын. Идея шунан тора, r радиус-векторлы ${\displaystyle P}$ нөктәһе яҫылыҡта ята шул саҡта һәм тик шул саҡта ғына, әгәр ${\displaystyle P_{0}}$ нөктәһенән ${\displaystyle P}$ нөктәһенә үткәрелгән вектор n векторына перпендикуляр булһа.

Ике вектор бер-береһенә перпендикуляр шул саҡта һәм тик шул саҡта ғына, әгәр уларҙың скаляр ҡабатландығы нулгә тигеҙ булһа. Ошонан сығып, беҙгә кәрәкле яҫылыҡ шундай r нөктәләре күмәклеге булып тора, бында:

${\displaystyle \mathbf {n} \cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})=0.}$ (Бында нөктә скаляр ҡабатландыҡты аңлата, ә ҡабатлауҙы түгел.)

Аңлатманы үҙгәртеп табабыҙ:

${\displaystyle n_{x}(x-x_{0})+n_{y}(y-y_{0})+n_{z}(z-z_{0})=0,}$

был беҙгә таныш яҫылыҡ тигеҙләмәһе булып тора.

Мәҫәлән: Бирелә: яҫылыҡта ятҡан ${\displaystyle P(2,6,-3)}$ нөктәһе һәм нормаль вектор ${\displaystyle N(9,5,2)}$.

Яҫылыҡтың тигеҙләмәһе ошолай яҙыла:

${\displaystyle 9(x-2)+5(y-6)+2(z+3)=0}$

${\displaystyle -18+9x-30+5y+6+2z=0}$

${\displaystyle 9x+5y+2z-42=0}$

Нөктәнән яҫылыҡҡа тиклем алыҫлыҡ

Нөктәнән яҫылыҡҡа тиклем алыҫлыҡ — был нөктә менән яҫылыҡтың нөктәләре араһындағы иң ҡыҫҡа алыҫлыҡ ул. Нөктәнән яҫылыҡҡа тиклем алыҫлыҡ был нөктәнән яҫылыҡҡа төшөрөлгән перпендикуляр оҙонлоғона тигеҙ булыуы билдәле.

• ${\displaystyle (2)}$ нормалаштырылған тигеҙләмә:

${\displaystyle \delta =x_{1}\cos \alpha +y_{1}\cos \beta +z_{1}\cos \gamma -p;}$

менән бирелгән яҫылыҡтан ${\displaystyle M_{1}(x_{1},y_{1},z_{1})}$ нөктәһенең тайпылышы

${\displaystyle \delta >0}$,әгәр ${\displaystyle M_{1}}$ һәм координаталар башы яҫылыҡтың төрлө яғында ятһа, ҡапма-ҡаршы осраҡта ${\displaystyle \delta <0}$. Нөктәнән яҫылыҡҡа тиклем алыҫлыҡ ${\displaystyle |\delta |}$ тигеҙ.

• ${\displaystyle M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})}$ нөктәһенән ${\displaystyle ax+by+cz+d=0}$ тигеҙләмәһе менән бирелгән яҫылыҡҡа тиклем алыҫлыҡ ${\displaystyle \rho }$ түбәндәге формула буйынса иҫәпләнә:

${\displaystyle \rho ={\frac {\mid ax_{0}+by_{0}+cz_{0}+d\mid }{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}}$

Параллель яҫылыҡтар араһында алыҫлыҡ

• ${\displaystyle Ax+By+Cz+D_{1}=0}$ һәм ${\displaystyle Ax+By+Cz+D_{2}=0}$ тигеҙләмәләре менән бирелгән яҫылыҡтар араһындағы алыҫлыҡ:

${\displaystyle d={\frac {\mid D_{2}-D_{1}\mid }{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}}}$

• ${\displaystyle {\bar {n}}({\bar {r}}-{\bar {r_{1}}})=0}$ һәм ${\displaystyle {\bar {n}}({\bar {r}}-{\bar {r_{2}}})=0}$ тигеҙләмәләре менән бирелгән яҫылыҡтар араһындағы алыҫлыҡ:

${\displaystyle d={\frac {\mid [{\bar {r}}_{2}-{\bar {r}}_{1},{\bar {n}}]\mid }{\mid {\bar {n}}\mid }}}$

Өс һәм әҙерәк яҫылыҡтарҙың үҙ-ара торошо осраҡтары. Айырып әйткәндә, 4 тип — ике яҫылыҡ киҫешә, 11 тип — E₃ яҫылығы E₁ һәм E₂ яҫылыҡтарының киҫешеү һыҙығы аша үтә, 12 тип — өс яҫылыҡ бер нөктәлә киҫешә

Бәйле төшөнсәләр

• Яҫылыҡтар араһындағы мөйөш. Әгәр яҫылыҡтарҙың тигеҙләмәһе (1) күренештә бирелһә, ул саҡта

${\displaystyle \cos \varphi ={\frac {A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}+C_{1}C_{2}}{\sqrt {(A_{1}^{2}+B_{1}^{2}+C_{1}^{2})(A_{2}^{2}+B_{2}^{2}+C_{2}^{2})}}};}$

Әгәр векторлы формала бирелһә, ул саҡта

${\displaystyle \cos \varphi ={\frac {(\mathbf {N_{1}} ,\mathbf {N_{2}} )}{|\mathbf {N_{1}} ||\mathbf {N_{2}} |}}.}$

• Яҫылыҡтар параллель, әгәр

${\displaystyle {\frac {A_{1}}{A_{2}}}={\frac {B_{1}}{B_{2}}}={\frac {C_{1}}{C_{2}}}}$ йәки ${\displaystyle [\mathbf {N_{1}} ,\mathbf {N_{2}} ]=0}$ булһа. (Векторлы ҡабатландыҡ)

• Яҫылыҡтар перпендикуляр, әгәр

${\displaystyle A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}+C_{1}C_{2}=0}$ йәки ${\displaystyle (\mathbf {N_{1}} ,\mathbf {N_{2}} )=0}$ булһа. (Скаляр ҡабатландыҡ)

• Яҫылыҡтар шәлкеме — ике яҫылыҡтың киҫешеү һыҙығы аша үткән бөтә яҫылыҡтар. Яҫылыҡтар шәлкеме тигеҙләмәһе, йәғни ике яҫылыҡтың киҫешеү һыҙығы аша үткән теләһә ниндәй яҫылыҡ тигеҙләмәһе, түбәндәге күренештә^[1]:222:

${\displaystyle \alpha (A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1})+\beta (A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2})=0,}$

бында ${\displaystyle \alpha }$ һәм ${\displaystyle \beta }$ — бер юлы нулгә тигеҙ булмаған теләһә ниндәй һандар. Ә һыҙыҡтың үҙенең тигеҙләмәһен шәлкем тигеҙләмәһенә α=1, β=0 һәм α=0, β=1 ҡиммәттәрен ҡуйып табып була.

• Яҫылыҡтар бәйләме — өс яҫылыҡтың киҫешеү нөктәһе аша үткән бөтө яҫылыҡтар^[1]:224. Яҫылыҡтар бәйләме тигеҙләмәһе, йәғни өс яҫылыҡтың киҫешеү нөктәһе аша үткән теләһә ниндәй яҫылыҡ тигеҙләмәһе, түбәндәге күренештә:

${\displaystyle \alpha (A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1})+\beta (A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2})+\gamma (A_{3}x+B_{3}y+C_{3}z+D_{3})=0,}$

бында ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$ һәм ${\displaystyle \gamma }$ — бер юлы нулгә тигеҙ булмаған теләһә ниндәй һандар. Нөктәнең үҙен яҫылыҡтар бәйләме тигеҙләмәһенә α=1, β=0, γ=0; α=0, β=1, γ=0 һәм α=0, β=0, γ=1 ҡиммәттәрен ҡуйып һәм килеп сыҡҡан тигеҙләмәләр системаһын сығарып табып була.

R n {\displaystyle R^{n}} арауығында m-яҫылыҡ

Ысын һандар яланында n-үлсәмле аффинно-сикле үлсәмле арауыҡ ${\displaystyle K^{n}(V,P)}$ бирелһен, ти. Унда тура мөйөшлө координаталар системаһы ${\displaystyle O,{\vec {e_{1}}},...,{\vec {e_{n}}}}$ алынған. m-яҫылыҡ тип радиус векторҙары түбәндәге нисбәтте ҡәнәғәтләндергән ${\displaystyle \alpha }$ нөктәләр күмәклеге атала: ${\displaystyle \alpha =\{x\mid x=A_{nm}{\vec {t_{m}}}+{\vec {d}}\}.}$ ${\displaystyle A_{nm}}$ — матрица, бағаналары яҫылыҡтың йүнәлтеүсе аҫарауығын төҙөй, ${\displaystyle {\vec {t}}}$ — үҙгәреүсәндәр векторы, ${\displaystyle {\vec {d}}}$ — яҫылыҡ нөктәләренең береһенең радиус-векторы.
Килтерелгән нисбәтте матрица-векторлы күренештән векторлы күренешкә үҙгәртергә мөмкин:
${\displaystyle x={\vec {a_{1}}}t_{1}+...+{\vec {a_{m}}}t_{m}+d,{\vec {a_{i}}}\in V}$ — m-яҫылыҡтың векторлы тигеҙләмәһе.
${\displaystyle {\vec {a_{i}}}}$ векторҙары йүнәлтеүсе аҫарауыҡ төҙөйҙәр. Ике m-яҫылыҡ ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ параллель тип атала, әгәр уларҙың йүнәлтеүсе аҫарауыҡтары тап килһә һәм ${\displaystyle \exists x\in \alpha :x\notin \beta }$.

(n-1)-яҫылыҡ n-үлсәмле арауыҡта гиперяҫылыҡ йәки ябай яҫылыҡ тип атала. Гиперяҫылыҡ өсөн яҫылыҡтың дөйөм тигеҙләмәһе бар. ${\displaystyle {\vec {n}}}$ — яҫылыҡтың нормаль векторы булһын, ти. ${\displaystyle {\vec {r}}=(x^{1},...,x^{n})}$ — үҙгәреүсәндәр векторы, ${\displaystyle {\vec {r_{0}}}}$ — яҫылыҡта ятҡан нөктәнең радиус векторы, ул саҡта:
${\displaystyle ({\vec {r}}-{\vec {r_{0}}},{\vec {n}})=0}$ — яҫылыҡтың дөйөм тигеҙләмәһе.
Йүнәлтеүсе векторҙарҙың матрицаһы булғанда, яҫылыҡ тигеҙләмәһен ошолай яҙырға мөмкин: ${\displaystyle \det({\vec {r}}-{\vec {r_{0}}}|A_{n,n-1})=0}$, йәки:
${\displaystyle {\begin{vmatrix}x^{1}-x_{0}^{1}&a_{1}^{1}&a_{2}^{1}&...&a_{n-1}^{1}\\x^{2}-x_{0}^{2}&a_{1}^{2}&a_{2}^{1}&...&a_{n-1}^{2}\\...&...&...&...\\x^{n}-x_{0}^{n}&a_{1}^{n}&a_{2}^{n}&...&a_{n-1}^{n}\end{vmatrix}}=0}$.
Яҫылыҡтар араһындағы мөйөш тип уларҙың нормаль векторҙары араһындағы иң бәләкәй мөйөш атала.

m-яҫылыҡтарға миҫалдар

1. Өс үлсәмле арауыҡта (n=3) 1-яҫылыҡтың миҫалы булып тура һыҙыҡ хеҙмәт итә. Уның векторлы тигеҙләмәһе түбәндәге күренештә: ${\displaystyle \alpha =\{a_{x},a_{y},a_{z}\}t+\{b_{x},b_{y},b_{z}\}}$. n = 2 булған осраҡта тура һыҙыҡ гиперяҫылыҡ була.
2. Өс үлсәмле арауыҡта гиперяҫылыҡ ғәҙәти яҫылыҡ төшөнсәһе менән тап килә.

Шулай уҡ ҡарағыҙ

• Тура һыҙыҡ
• Сагитталь яҫылыҡ
• Ярымяҫылыҡ
• Арауыҡ