From Wikipedia, the free encyclopedia
Һанлы (иҫәпләү) ысулдар — математик мәсьәләләрҙе һанлы күренештә сығарыу ысулдары[1].
Һанлы ысулдар | |
Өйрәнеү объекты | численный алгоритм[d] |
---|---|
ACM коды (2012) | 10003715 |
Һанлы ысулдар Викимилектә |
Мәсьәләлә баштағы мәғлүмәтте тә, уның сығарылышын да һан йәки һандар йыйылмаһы рәүешендә күрһәтеү .
Күп кенә һанлы ысулдар математик программалар китапханаһының өлөшө булып торалар[2]. Техник һөнәр инженерҙарын әҙерләү системаһының мөһим өлөшө булып тора.
Һанлы ысулдар менән сығарылыусы төп мәсьәләләр:
Иҫәпләү математикаһының бөтә мәсьәләләре түбәндәге эҙмә-эҙлелектә сығарылалар[3]:
Билдәһеҙ дәүмәлде эҙләү мәсьәләһе символик рәүештә күренешендә яҙыла. Иҫәпләү математикаһында -ты табыу өсөн, иҫәпләүҙәр уңайлыраҡ булһын өсөн , дәүмәлдәре, йәки функциялары бирелгән бер йәки бер нисә арауыҡты алмаштырыу ҡулланыла. Барлыҡҡа килгән яңы мәсьәләһенең сығарылышы баштағы мәсьәләнең сығарылышына яҡын булырға тейеш. Мәҫәлән, интегралын иҫәпләгәндә, киҫегендә өҙлөкһөҙ функцияны һәр ваҡыт интегралы еңел билдәләнгән полиномы менән алмаштырырға мөмкин; йәки интегралды сикле суммаһы менән алмаштырырға һәм килеп сыҡҡан мәсьәләне сығарырға мөмкин. Бындай алмаштырыуҙы башҡарыу өсөн, төп арауыҡты яҡшы алмаштырыусы элементтарҙың сикле күмәклеген табырға кәрәк. Һуңғы шарт метрик арауыҡҡа сикләүҙәр ҡуя. Төп сикләү — ϵ {\displaystyle \epsilon } \epsilon -селтәрҙең булыуы, унан арауыҡтың үҙендә компактлы һәм сепарабеллы булыуы килеп сыға. Шуның менән бергә, был сикләү мотлаҡ түгел. Функциональ анализдың хәҙерге ысулдары мәсьәләнең шартына нығыраҡ тап килгән метрик арауыҡтар һайларға мөмкинлек бирә[7].
Һанлы ысулдарҙы ҡулланғанда хаталарҙың бер нисә төрө барлыҡҡа килә. Бер һанды икенсеһенә яҡынайтҡанда түңәрәкләү хатаһы барлыҡҡа килә, аныҡ булмаған башланғыс мәғлүмәт менән бәйле хата бөтөрөп булмаған хата тип атала, бынан тыш, баштағы мәсьәләне яҡынса мәсьәлә менән алмаштырыу менән бәйле ысул хатаһы була. Был осраҡта тулы хата ысул хатаһынан һәм иҫәпләүҙәр хатаһынан тора, икенсе төрлө әйткәндә, тигеҙләмәһе урынына, яуабының аныҡлығы формулаһы буйынса билдәләнгән тигеҙләмәһе сығарыла[8]. Хатаның дәүмәлен асыҡлау өсөн абсолют һәм сағыштырма хата, шулай уҡ сикке абсолют һәм сағыштырма хата төшөнсәләре ҡулланыла, шуның менән бергә хаталар теорияһы төрлө арифметик ғәмәлдәрҙә хаталар дәүмәле үҙгәреүен асыҡлай[9]. Хаталарҙың сикке ҡиммәттәрен билдәләргә мөмкинлек биргән хаталарҙы аныҡ баһалау ысулдары менән бер рәттән, статистик ысулдар ҙа ҡулланыла, улар айырым хаталарға барып етеү мөмкинлеген асыҡларға мөмкинлек бирәләр[10], шулай уҡ физик дәүмәлде бер нисә үлсәү һөҙөмтәһе буйынса уның яҡынса ҡиммәте билдәләнгәндәге, тәжрибәнең бирелгән шарттарынан тайпылыу менән бәйле осраҡлы хаталарҙың математик характеристикалары иҫәпкә алына[11].
Ҡиммәттәре таблицаһы менән бирелгән функцияһының ҡиммәтен аргументтың аралағы ҡиммәттәрендә табыу өсөн, интерполяциялаү төйөндәре тип аталған бирелгән нөктәләрендә ҡиммәттәрен ҡабул иткән, ә ҡалған нөктәләре функцияның билдәләнеү өлкәһенә ингән яҡынайтылған функцияһын төҙөйҙәр. Йышыраҡ яҡынайтылған функция һыҙыҡлы бәйһеҙ системаның тәүге элементы ингән алгебраик күпбыуын күренешендә төҙөлә. Практикала һыҙыҡлы бәйһеҙ системаның элементтары сифатында -тың дәрәжәләре: , тригонометрик функциялар: , күрһәткесле функциялар: [12][12] ҡулланыла.
Был осраҡта интерполяциялаусы функцияны төҙөү өсөн билдәһеҙле тигеҙләмәләр системаһын сығарырға кәрәк була. Системаның табылған матрицаһына билдәле шарттар ҡуйыла: матрицаның рангы -гә тигеҙ, ә һыҙыҡлы бәйһеҙлек шартын гарантиялау өсөн булырға тейеш, — мәсьәләнең сығарылышы асыҡтан-асыҡ булһын өсөн, матрицаның билдәләүсеһе — сығарылышы бар һәм берҙән бер булһын өсөн[13]. Лагранждың интерполяцион күпбыуынын төҙөү бындай проблемаларҙы хәл итеүҙең ресурсты күп талап итеүсе һәм киңәйтеү ауыр булған төп ысулы булып тора[14].
Артабанғы аҙым булып функцияның күрше төйөндәрҙәге ҡиммәттәре айырмаһының был төйөндәр араһындағы алыҫлыҡҡа бүлендектәре базаһында -сы тәртиптәге бүленгән айырма төшөнсәһе индереү тора, ул үҙенең билдәләмәһе буйынса күп кенә файҙалы үҙсәнлектәргә эйә, атап әйткәндә дәрәжәһендәге күпбыуындан тәртибендәге бүленгән айырманың дәрәжәһе -ға тигеҙ, йәғни тәртибендәге айырма даими, ә юғарыраҡ тәртиптәге айырмалар -гә тигеҙ[15]. Бүленгән айырмалар Лагранждың интерполяцион күпбыуынын иҫәпләү өсөн уңайлыраҡ күренештә яҙырға мөмкинлек бирәләр. Яңы формула Ньютондың интерполяцион күпбыуыны тип атала[16], тигеҙ аралыҡтар осрағында формула күпкә ябайлаша[17]. Бүленгән айырмалар ҡулланып Гаустың, Стирлингтың, Бесселдең, Эвереттың интерполяцион формулалары төҙөлә[18]. Дөйөм осраҡта бүленгән айырмалар тәүҙә тәртибе үҫә барған һайын кәмейҙәр, ә аҙаҡ яңынан үҫә башлайҙар, икенсе төрлө әйткәндә, иҫәпләүҙәрҙә юғары тәртиптәге бүленгән айырмалар ҡулланыуҙың мәғәнәһе юҡ[19]. Шуның менән бергә интерполяцион процестың йыйылыусанлыҡ мәсьәләһе тыуа, уны хәл итеү өсөн математик анализдың төрлө ысулдары йәлеп ителә[20].
Практик мәсьәләләрҙе хәл иткәндә бирелгән функцияның ҡиммәтен күп тапҡыр иҫәпләргә кәрәк була, ғөмүмән, ул ресурсты күп талап иткән операция булып тора. Иң яҡшы тигеҙ яҡынлашыу функцияһын табыу кәрәклеге килеп тыуа[21]. Һыҙыҡлы нормалаштырылған арауыҡта функцияны яҡынсалау өсөн бөтә мөмкин булған һыҙыҡлы комбинацияларҙың үлсәмендәге аҫарауығын төҙөйҙәр, уның өсөн норма билдәле һәм уның теүәл түбәнге сиге бар. Был сиккә өлгәшелгән элемент иң яҡшы яҡынлашыу элементы, йәки проекция тип атала[22]. Аҫарауыҡта һәр саҡ иң яҡшы яҡынлашыу элементы бар икәнен иҫбатлап була[23], ә арауыҡ ҡәтғи нормалаштырылған булһа ундай элемент берҙән бер була[24]. Нормаһы булған өҙлөкһөҙ функциялар арауығында шулай уҡ иң яҡшы яҡынлашыу элементы бар[25], ләкин дөйөмләштерелгән күпбыуындың киҫектә -дан артығыраҡ булмаған төрлө нулдәре булыу уның берҙән бер булыуының шарты булып тора (Чебышёв күпбыуындары)[26].
Функциялар теорияһын дәрәжәле функциялар системаһына ҡулланып була, сөнки ул теләһә ниндәй киҫектә Чебышёв системаһы булып тора[27]. Вейерштрасс теоремаһына ярашлы, аҫарауыҡтың үлсәме () арта барғанда, проекция һәм бирелгән функция араһындағы айырма нулгә яҡыная[28]. Был яҡынлашыу тәртибе функцияның структура үҙсәнлектәренә бәйле, уны Бернштейн күпбыуыны ярҙамында билдәләп була[29]. Тригонометрик функциялар системаһы шулай уҡ киҫегендә Чебышёв системаһы үҙсәнлектәренә эйә, уның өсөн шулай уҡ проекция һәм бирелгән функция араһындағы алыҫлыҡ нулгә яҡыная[30].
Күрһәтелгән иң яҡшы яҡынлашыу күпбыуыны булыуға ҡарамаҫтан, уны аныҡ төҙөү ысулы юҡ. Уның урынына иң яҡшы тигеҙ яҡынлашыу күпбыуынын яҡынса төҙөүҙең бер нисә ысулы ҡулланыла[31].
Күп осраҡтарҙа тигеҙ яҡынлашыу талабы артыҡ, функцияларҙың «интеграль» яҡынлығы етерлек була, бынан тыш яҡынса функцияларҙың эксперименттан алынған ҡиммәттәре үҙҙәрендә осраҡлы хата йөрөтәләр, ә яҡынайтыусы һәм яҡынайыусы функцияларҙың тап килеүен талап итеү, әгәр һуңғыһының хаталары булһа, маҡсатҡа ярашһыҙ. Квадратик урта яҡынлашыу ысулы яҡынлыҡ үлсәме итеп түбәндәге дәүмәлде ҡабул итә
был квадраты менән интегралланыусанлыҡ талабын ғына һаҡлап, интеграл аҫты функцияһын интерполяциялауҙан һәм өҙлөкһөҙ булыуын талап итеүҙән баш тартырға мөмкинлек бирә[32].
Һул яғында ысын йәки комплекслы аргумент функцияһы торған алгебраик тигеҙләмәһенең сығарылышы комплекслы яҫылыҡта ята[33]. Уны билдәләү өсөн беренсе сиратта һәр тамырҙы етерлек бәләкәй өлкәнең эсенә алырға, йәғни уны айырырға кәрәк, бының өсөн йыш ҡына график ысул ҡулланыла[34]. Ысын тамырҙар өсөн шулай уҡ дөйөмләштерелгән Декарт ҡағиҙәһе, Штурм теоремаһы[35], Фурье ысулы[36] ҡулланыла. Квадрат тамыр ысулы, йәки Лобачевский ысулы[37] киң ҡулланыу таба. Төп формулировкаһында ул бер-береһенән алыҫта торған ысын тамырҙарға ҡулланышлы[38], ләкин комплекслы тамырҙары[39], ысын тигеҙ йәки яҡын торған ысын тамырҙары өсөн дә[40] дөйөмләштерелгән формулировкаһы бар.
Алгебраик тигеҙләмәләрҙе сығарыуҙың итерацион ысулдары стационар һәм стационар булмаған ысулдарға бүленәләр. Стационар ысул ваҡытында функцияға тамырҙары шул уҡ булған, итерация номерына бәйле булмаған икенсе функция ярашлы ҡуйыла[41]. Стационар булмаған ысул ваҡытында функция итерация номерына бәйле булырға мөмкин. Иң ябай стационар итерацион ысулдарға киҫеүселәр ысулы (йәки һыҙыҡлы интерполяциялау ысулы) һәм тейеүселәр ысулы (йәки Ньютон ысулы) инә, улар ярашлы рәүештә беренсе һәм икенсе тәртиптәге ысулдар булып торалар. Бер-бер артлы яҡынлашыуҙары тамырҙың төрлө яҡтарында ятҡан был ысулдарҙың комбинацияһы тиҙерәк йыйылыусанлыҡҡа өлгәшеү мөмкинлеген бирә[42]. Кире функцияның Тейлор формулаһы буйынса тарҡалыуына нигеҙләнгән Чебышев ысулы бик тиҙ йыйылыусанлыҡҡа эйә булған юғары тәртиптәге ысулдар төҙөү мөмкинлеген бирә.[43]. Шулай уҡ Кёниг теоремаһына[44], һәм Эйткен ысулына[45] нигеҙләнгән ысулдар бар. Итерацион ысулдарҙың йыйылыусанлығын иҫбатлау өсөн ҡыҫҡартылған сағылыштар принцибы ҡулланыла[46].
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.