Даўжыня крывой

Даўжынёй крывой у мэтрычнай прасторы ${\displaystyle (X,\rho )}$ завецца варыяцыя адлюстраваньня, што задае крывую, г.з. даўжыня крывой ${\displaystyle \gamma$ :[a,b]\to X} ёсьць велічыня роўная:

${\displaystyle \sup \limits _{P}\sum \limits _{k=0}^{m}\rho (\gamma (x_{k+1}),\gamma (x_{k}))}$,

дзе дакладная верхняя грань бярэцца па ўсіх разьбіцьцях ${\displaystyle P}$ адцінка ${\displaystyle [a,b]}$.

Зьвязаныя азначэньні

Калі даўжыня канцавая, то кажуць, што крывая выпрастальная, у адваротным выпадку невыпрастальная.

Формулы

Калі крывая клясы ${\displaystyle C^{1}}$ у ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, то яе даўжыня роўная:

• У агульным выпадку ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ — ${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}{\sqrt {\sum \limits _{k=1}^{n}\left(f'_{k}(t)\right)^{2}}}\,dt}$.
• У ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ — ${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}{\sqrt {(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}+(z'(t))^{2}}}\,dt}$.
• Калі крывая зададзеная ў ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ як f(x), то даўжыня роўная ${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}{\sqrt {1+(f'(x))^{2}}}\,dx}$.

Глядзіце таксама

• Варыяцыя функцыі