Дыфэрэнцыйнае раўнаньне Бэрнулі

Дыфэрэнцы́йнае раўна́ньне Бэрну́лі — лінейнае раўнаньне выгляду ${\displaystyle y'+a(x)y=b(x)y^{n}}$. Калі ${\displaystyle n\neq 0,\,1}$, то раўнаньне называецца дыфэрэнцыйным раўнаньнем Бэрнулі ў агульным выглядзе. Раўнаньне апублікаваў Якаб Бэрнулі ў 1695 годзе.

Мэтад рашэньня

Асноўны мэтад рашэньня раўнаньня Бэрнулі наступны:

${\displaystyle y'+a(x)y=b(x)y^{n},\quad n}$

Падзелім усе члены раўнаньня на

   ${\displaystyle y^{n}\!}$,

атрымаем

   ${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}\!y^{-n}+a(x)y^{-n+1}=b(x)}$.

Увядзём замену

   ${\displaystyle z=y^{-n+1}\!}$.

Дыфэрэнцуем

   ${\displaystyle {\frac {dz}{dx}}=(-n+1)y^{-n}{\frac {dy}{dx}}}$.

Раўнаньне прыведзенае да лінейнага

   ${\displaystyle {\frac {dz}{dx}}+(-n+1)a(x)z=(-n+1)b(x)}$.

Гэтае раўнаньне можа быць вырашанае мэтадам варыяцыі пастаяннай ці мэтадам інтэгруючага множніка.

Вонкавыя спасылкі

• Раўнаньне Бэрнулі на planetmath.org
• Мэтад варыяцыі пастаяннай на planetmath.org