Адзінкавая акружнасць

Адзі́нкавая акру́жнасць — акружнасць з радыусам 1 і цэнтрам у пачатку каардынат.

Параметрычнае заданне адзінкавай акружнасці.

Для каардынат (x, y) усіх пунктаў на адзінкавай акружнасці, згодна з тэарэмай Піфагора, выконваецца роўнасць:

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1.}$

Паняцце адзінкавай акружнасці абагульняецца да n-мернай прасторы (${\displaystyle n>2}$), у такім выпадку кажуць аб «адзінкавай сферы».

Трыганаметрычныя функцыі

Геаметрычнае азначэнне трыганаметрычных функцый вугла α пры дапамозе адзінкавай акружнасці.

З дапамогай адзінкавай акружнасці могуць быць наглядна апісаны трыганаметрычныя функцыі.

Сінус і косінус могуць быць апісаны наступным чынам: калі злучыць любую кропку ${\displaystyle (x,y)}$ на адзінкавай акружнасці з пачаткам каардынат ${\displaystyle (0,0)}$, атрымліваецца адрэзак, які знаходзіцца пад вуглом ${\displaystyle \alpha }$ адносна дадатнай паўвосі абсцыс. Тады сапраўды:

${\displaystyle \cos \alpha =x,}$

${\displaystyle \sin \alpha =y.}$

Пры падстаноўцы гэтых значэнняў ва ўраўненне акружнасці ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$ атрымліваецца:

${\displaystyle \cos ^{2}\alpha +\sin ^{2}\alpha =1.}$

(Выкарыстоўваецца наступнае агульнапрынятае абазначэнне: ${\displaystyle \cos ^{2}x=(\cos x)^{2}}$.)

Тут жа наглядна апісваецца перыядычнасць трыганаметрычных функцый, бо адпаведнае вуглу становішча адрэзка не залежыць ад колькасці «поўных абаротаў»:

${\displaystyle \sin(x+2\pi k)=\sin(x)}$

${\displaystyle \cos(x+2\pi k)=\cos(x)}$

для ўсіх цэлых лікаў ${\displaystyle k}$, г.зн. для ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$.

Камплексная плоскасць

Геаметрычны сэнс формулы Эйлера.

Гл. таксама: Формула Эйлера і U(1)

На камплекснай плоскасці адзінкавая акружнасць — гэта наступнае мноства ${\displaystyle G\subset \mathbb {C} }$:

${\displaystyle G=\{z:|z|=1\}=\{e^{i\phi }:0\leq \phi <2\pi \}.}$

Мноства ${\displaystyle G}$ з'яўляецца падгрупай групы камплексных лікаў па множанню, яе нейтральны элемент — гэта ${\displaystyle e^{i0}=1}$.

Гл. таксама

• Адзінкавая сфера
• Адзінкавы круг
• Адзінкавы квадрат
• Адзінкавы куб