Асімптота

Асімпто́та (ад ст.-грэч. ἀσύμπτωτος — несупадальная, не датычная крывой з бесканечнай галіной) — прамая, якая валодае той уласцівасцю, што адлегласць ад пункта крывой да гэтай прамой імкнецца да нуля пры аддаленні пункта ўздоўж галіны ў бесканечнасць.

Фармальна прамая называецца асімптотай графіка функцыі ${\displaystyle f}$, калі адлегласць ад пункта ${\displaystyle M}$, які належыць графіку, да гэтай прамой імкнецца да ${\displaystyle 0}$.

Віды асімптот

Існуюць 3 віды асімптот: вертыкальныя, гарызантальныя і нахільныя.

Вертыкальная асімптота

Калі ${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=\infty }$, то прамая ${\displaystyle x=x_{0}}$ — вертыкальная асімптота.

${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=-\infty }$ — ніжняя вертыкальная асімптота.

${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=+\infty }$ — верхняя вертыкальная асімптота.

Гарызантальная асімптота

Калі існуе канцавы ${\displaystyle \lim _{x\to -\infty (+\infty )}f(x)=A}$, то прамая ${\displaystyle y=A}$ гарызантальная правая (левая) асімптота.

Нахільная асімптота

Графік функцыі ${\displaystyle x\operatorname {arctg} x}$ з двума нахільнымі асімптотамі

Няхай крывая ${\displaystyle y=f(x)}$ мае нахільную асімптоту ${\displaystyle y=kx+b}$. Каб знайсці яе, патрэбна ведаць ${\displaystyle k}$ i ${\displaystyle b}$.

Паводле азначэння асімптоты функцыі, адлегласць паміж пунктам ${\displaystyle M}$ крывой ${\displaystyle y=f(x)}$ і прамой ${\displaystyle y=kx+b}$ імкнецца да ${\displaystyle 0}$, калі ${\displaystyle x\to \infty }$.

Калі ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }(f(x)-(kx+b))=0}$, то прамая ${\displaystyle y=kx+b}$ з’яўляецца нахіленай асімптотай крывой ${\displaystyle y=f(x)}$.

З папярэдняга азначэння і ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\dfrac {1}{x}}=0}$ вынікае, што:

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\Big (}{\dfrac {f(x)}{x}}-k-{\dfrac {b}{x}}{\Big )}=0\ \Rightarrow \ \lim _{x\to \infty }{\dfrac {f(x)}{x}}=k.}$

А таксама вынікае, што:

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }(f(x)-kx)=b.}$

Заўвага 1: Асімптатычныя змяненні функцыі могуць быць рознымі, калі ${\displaystyle x\to +\infty }$ або ${\displaystyle x\to -\infty }$. Менавіта таму патрэбна разглядаць абодва выпадкі.

Напрыклад, разгледзім асімптоты функцыі ${\displaystyle f(x)=x\operatorname {arctg} x}$. Будзем шукаць нахільныя асімптоты ${\displaystyle y=kx+b}$, калі ${\displaystyle x\to \pm \infty }$.

${\displaystyle k_{1}=\lim _{x\to +\infty }{\dfrac {x\operatorname {arctg} x}{x}}={\dfrac {\pi }{2}};}$

${\displaystyle b_{1}=\lim _{x\to +\infty }x{\Big (}\operatorname {arctg} x-{\dfrac {\pi }{2}}{\Big )}=(\infty \cdot 0)=\lim _{x\to +\infty }{\dfrac {\operatorname {arctg} x-{\dfrac {\pi }{2}}}{\dfrac {1}{x}}}=-\lim _{x\to +\infty }{\dfrac {x^{2}}{1+x^{2}}}=-1.}$

${\displaystyle k_{2}=\lim _{x\to -\infty }x\operatorname {arctg} x=-{\dfrac {\pi }{2}};}$

${\displaystyle b_{2}=\lim _{x\to -\infty }(x\operatorname {arctg} x+{\dfrac {\pi }{2}})=-1.}$

Такім чынам, прамыя ${\displaystyle y={\dfrac {\pi x}{2}}-1}$ i ${\displaystyle y=-{\dfrac {\pi x}{2}}-1}$ — нахільныя асімптоты.

Заўвага 2: Калі функцыя — алгебраічны дроб выгляду ${\displaystyle {\dfrac {f(x)}{g(x)}}}$, дзе ${\displaystyle f(x)}$ i ${\displaystyle g(x)}$ — мнагасклады, тады, калі ступень лічніка толькі на адзінку больш за ступень назоўніка, то графік функцыі мае нахільную асімптоту, калі ж ступень лічніка не больш за ступень назоўніка, то — гарызантальную асімптоту.

Літаратура

• Гуло І. М., Шалік Э. У., Ражко А. К. Дыферэнцыяльнае злічэнне функцыі адной зменнай: вучэб.-метад. дапам., Мінск: БДПУ, 2011.