Дыферэнцыял функцыі

У паняцця ёсць і іншыя значэнні, гл. Дыферэнцыял (значэнні).

Дыферэнцыя́л^[1][2][3] (лац.: Differentia — рознасць, адрозненне) — галоўная лінейная частка поўнага прырашчэння функцыі.

Гісторыя

Тэрмін «дыферэнцыял» уведзены Лейбніцам. Першапачаткова ${\displaystyle dx}$ ўжывалася для абазначэння «бясконца малой» — велічыні, якая менш усякай канчатковай велічыні і ўсё ж не роўная нулю. Падобны погляд апынуўся нязручным ў большасці раздзелаў матэматыкі за выключэннем нестандартнага аналізу.

Абазначэнні

Звычайна дыферэнцыял функцыі ${\displaystyle f}$ пазначаецца ${\displaystyle df}$. Некаторыя аўтары аддаюць перавагу пазначэнню ${\displaystyle {\rm {d}}f}$ шрыфтам прамога напісання, жадаючы падкрэсліць, што дыферэнцыял з’яўляецца аператарам.

Дыферэнцыял ў кропцы ${\displaystyle x_{0}}$ пазначаецца ${\displaystyle d_{x_{0}}f}$, а часам ${\displaystyle df[x_{0}]}$, а таксама ${\displaystyle df}$, калі значэнне ${\displaystyle x_{0}}$ ясна з кантэксту.

Адпаведна, значэнне дыферэнцыяла ў кропцы ${\displaystyle x_{0}}$ ад ${\displaystyle h}$ можа пазначацца як ${\displaystyle d_{x_{0}}f(h)}$, а часам ${\displaystyle df[x_{0}](h)}$, а таксама ${\displaystyle df(h)}$, калі значэнне ${\displaystyle x_{0}}$ ясна з кантэксту.

Выкарыстанне знака дыферэнцыяла

• Знак дыферэнцыяла выкарыстоўваецца ў выражэнні для інтэграла ${\displaystyle \int f(x)\,dx}$. Пры гэтым часам (і не зусім карэктна) дыферэнцыял ${\displaystyle dx}$ уводзіцца як частка вызначэння інтэграла.
• Таксама знак дыферэнцыяла выкарыстоўваецца ў пазначэнні Лейбніца для вытворнай ${\displaystyle f'(x_{0})={\frac {df}{dx}}(x_{0})}$. Гэта абазначэнне матываванае тым, што для дыферэнцыялаў функцыі ${\displaystyle f}$ і аналагічнай функцыі ${\displaystyle x}$ верныя суадносіны
•  :${\displaystyle d_{x_{0}}f=f'(x_{0}){\cdot }d_{x_{0}}x.}$

Вызначэнне

Для функцый

Дыферэнцыял функцыі ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ у кропцы ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} }$ можа быць вызначаны як лінейная функцыя

${\displaystyle d_{x_{0}}f(h)=f'(x_{0})h,}$

дзе ${\displaystyle f'(x_{0})}$ абазначае вытворную ${\displaystyle f}$ у кропцы ${\displaystyle x_{0}}$.

Такім чынам ${\displaystyle df}$ ёсць функцыя двух аргументаў ${\displaystyle df\colon (x_{0},h)\mapsto d_{x_{0}}f(h)}$.

Дыферэнцыял можа быць вызначаны наўпрост, г.зн., без прыцягнення вызначэння вытворнай, як функцыя ${\displaystyle d_{x_{0}}f(h)}$, якая лінейна залежыць ад ${\displaystyle h}$, і для якой верныя наступныя суадносіны

${\displaystyle d_{x_{0}}f(h)=f(x_{0}+h)-f(x_{0})+o(|h|).}$

Для адлюстраванняў

Дыферэнцыялам адлюстравання ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ у кропцы ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}$ называюць лінейны аператар ${\displaystyle d_{x_{0}}f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ такі, што выконваецца ўмова

${\displaystyle d_{x_{0}}f(h)=f(x_{0}+h)-f(x_{0})+o(|h|).}$

Звязаныя вызначэння

• Адлюстраванне ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ называецца дыферэнцуемым у кропцы ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}$ калі вызначаны дыферэнцыял${\displaystyle d_{x_{0}}f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$.

Уласцівасці

• Матрыца лінейнага аператара ${\displaystyle d_{x_{0}}f}$ роўная матрыцы Якобі; яе элементамі з’яўляюцца частковыя вытворныя.

*Адзначым, частковыя вытворныя могуць быць вызначаны ў кропцы, дзе дыферэнцыял не вызначаны.

• Дыферэнцыял функцыі ${\displaystyle f}$ звязаны з яе градыентам ${\displaystyle \nabla f}$ наступнымі вызначальнымі суадносінамі

${\displaystyle d_{x_{0}}f(h)=\langle (\nabla f)(x_{0}),h\rangle }$

• Аперацыі дыферэнцыявання і інтэгравання з’яўляюцца узаемазваротнымі.

Варыяцыі і абагульненні

• Дыферэнцыялы вышэйшых парадкаў
• Знешні дыферэнцыял
• Дыферэнцыял (дыферэнцыяльная геаметрыя)
• Вытворная Пеано
• Вытворная Фрэшэ