Мультыплікатыўная функцыя

У тэорыі лікаў, мультыплікатыўная функцыя ― арыфметычная функцыя ${\displaystyle f(m)}$, такая што

${\displaystyle f(m_{1}m_{2})=f(m_{1})f(m_{2})}$

для любых узаемна простых лікаў ${\displaystyle m_{1}}$ і ${\displaystyle m_{2}}$.

Звычайна мяркуецца, што f(m) не роўная тоесна нулю, гэта раўназначна ўмове

${\displaystyle f(1)=1.}$

Мультыплікатыўная функцыя называецца моцна мультыплікатыўнаю, калі

${\displaystyle f(p^{\alpha })=f(p)}$

для ўсіх простых ${\displaystyle p}$ і ўсіх натуральных ${\displaystyle \alpha }$.

У тэорыі лікаў функцыі ${\displaystyle f(m)}$, якія задавальняюць умову мультыплікатыўнасці для ўсіх натуральных ${\displaystyle m_{1},m_{2}}$, называюцца цалкам мультыплікатыўнымі (поўнасцю мультыплікатыўнымі).

Варта адзначыць, што па-за тэорыяй лікаў пад мультыплікатыўнаю функцыяй разумеюць любую функцыю ${\displaystyle f}$, вызначаную на некаторым мностве ${\displaystyle X}$ так, што

${\displaystyle f(x_{1}x_{2})=f(x_{1})f(x_{2})}$

для любых ${\displaystyle x_{1},x_{2}\in X.}$

Прыклады

• Функцыя ${\displaystyle \tau (m)}$ ― лік натуральных дзельнікаў натуральнага ${\displaystyle m}$.
• Функцыя ${\displaystyle \sigma (m)}$ ― сума натуральных дзельнікаў натуральнага ${\displaystyle m}$.
• Функцыя Эйлера ${\displaystyle \varphi (m)}$.
• Функцыя Мёбіуса ${\displaystyle \mu (m)}$.
• Функцыя ${\displaystyle {\frac {\varphi (m)}{m}}}$ з'яўляецца моцна мультыплікатыўнаю.
• Ступенная функцыя ${\displaystyle f(m)=m^{\alpha }}$ з'яўляецца цалкам мультыплікатыўнаю.

Уласцівасці

Калі ${\displaystyle f(m)}$ — мультыплікатыўная функцыя, то функцыя

${\displaystyle g(m)=\sum _{d|m}f(d)}$

таксама будзе мультыплікатыўнаю. Наадварот, калі функцыя ${\displaystyle g(m)}$, вызначаная гэтымі суадносінамі, з'яўляецца мультыплікатыўнаю, то і зыходная функцыя ${\displaystyle f(m)}$ таксама мультыплікатыўная.

Больш таго, калі ${\displaystyle f(m)}$ і ${\displaystyle g(m)}$ — мультыплікатыўныя функцыі, то мультыплікатыўнаю будзе і іх згортка Дзірыхле

${\displaystyle h(m)=\sum _{d|m}f(d)g\left({\frac {m}{d}}\right).}$

Літаратура

• Кубилюс Й. П. Мультипликативная арифметическая функция // Математическая энциклопедия / И. М. Виноградов (гл. ред.). — М.: Советская энциклопедия. — Т. 3.
• Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — М.: «Мир», 1998. — 703 с. — ISBN 5-03-001793-3.
• Paul T. Baterman, Harold G. Diamond. 2.5 Multiplicative functions // Analytic Number Theory. An introductory course. — Singapore: World Scientific Publishing, 2004. — С. 31—38. — ISBN 981-238-938-5.

Гл. таксама

• Арыфметычная функцыя