Пастаянная Эйлера — Маскероні

Не блытаць з Лік Эйлера.

Пастаянная Эйлера — Маскероні ці пастаянная Эйлера — матэматычная канстанта, якая вызначаецца як граніца рознасці паміж частковай сумай гарманічнага рада і натуральным лагарыфмам ліку:

${\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}{1 \over k}-\ln n\right)=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\ldots +{\frac {1}{n}}-\ln n\right)}$

Канстанта ўведзена ў 1735 годзе Леанардам Эйлерам, ён жа прапанаваў для яе абазначэнне C, якое дагэтуль часам ужываецца. Італьянскі матэматык Ларэнца Маскероні ў 1790 годзе вылічыў 32 знакі канстанты. Карл Антон Брэтшнайдэр прапанаваў сучаснае абазначэнне ${\displaystyle \gamma }$ (грэчаская літара «гама»).

Значэнне канстанты:

${\displaystyle \gamma }$ ≈ 0,577 215 664 901 532 860 606 512 090 082 402 431 042 159 335 939 923 598 805 767 234 884 867 726 777 664 670 936 947 063 291 746 749 515…

У тэорыі лікаў нярэдка выкарыстоўваецца канстанта

e^γ ≈ 1,781 072 417 990 197 985 236 504 103 107 179 549 169 645 214 303 430 205 357 665 876 512 841 076 813 588 293 707 574 216 488 418 280…

${\displaystyle e^{\gamma }=\left({\frac {2}{1}}\right)^{1/2}\left({\frac {2^{2}}{1\cdot 3}}\right)^{1/3}\left({\frac {2^{3}\cdot 4}{1\cdot 3^{3}}}\right)^{1/4}\left({\frac {2^{4}\cdot 4^{4}}{1\cdot 3^{6}\cdot 5}}\right)^{1/5}\cdots }$

Уласцівасці

• Пастаянная Эйлера можа быць выражана інтэгралам:

  ${\displaystyle \gamma =-\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\ln x}{e^{x}}}\,dx}$

  ${\displaystyle \gamma =1-\int \limits _{0}^{1}\left\{{\frac {1}{x}}\right\}dx=1-\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {\{x\}}{x^{2}}}\,dx}$, дзе ${\displaystyle \left\{t\right\}}$ — дробная частка ліку ${\displaystyle t}$.

  ${\displaystyle \gamma ^{2}+{\frac {\pi ^{2}}{6}}=\int \limits _{0}^{\infty }{e^{-x}\ln ^{2}x}\,dx.}$

  ${\displaystyle -{\tfrac {1}{4}}(\gamma +2\ln 2){\sqrt {\pi }}=\int \limits _{0}^{\infty }{e^{-x^{2}}\ln x}\,dx}$

• Таксама яна выражаецца цераз вытворную гама-функцыі:

  ${\displaystyle \gamma =-\Gamma ^{'}(1)=-\Psi (1)}$.

• ${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &={\frac {3}{2}}-\ln 2-\sum _{m=2}^{\infty }(-1)^{m}\,{\frac {m-1}{m}}[\zeta (m)-1]\\&=\lim _{n\to \infty }\left[{\frac {2\,n-1}{2\,n}}-\ln \,n+\sum _{k=2}^{n}\left({\frac {1}{k}}-{\frac {\zeta (1-k)}{n^{k}}}\right)\right]\\&=\lim _{n\to \infty }\left[{\frac {2^{n}}{e^{2^{n}}}}\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {2^{m\,n}}{(m+1)!}}\sum _{t=0}^{m}{\frac {1}{t+1}}-n\,\ln 2+O\left({\frac {1}{2^{n}\,e^{2^{n}}}}\right)\right].\end{aligned}}}$

• ${\displaystyle \gamma =\lim \limits _{m\to \infty }\sum \limits _{k=1}^{m}{m \choose k}{\frac {(-1)^{k}}{k}}\ln(k!)}$.
• ${\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }\left\{{\frac {\Gamma ({\frac {1}{n}})\Gamma (n+1)\,n^{1+1/n}}{\Gamma (2+n+{\frac {1}{n}})}}-{\frac {n^{2}}{n+1}}\right\}}$
• ${\displaystyle {\gamma +\zeta (2)=\sum _{k=2}^{\infty }\left({\frac {1}{\lfloor {\sqrt {k}}\rfloor ^{2}}}-{\frac {1}{k}}\right)=\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {k-\lfloor {\sqrt {k}}\rfloor ^{2}}{k\lfloor {\sqrt {k}}\rfloor ^{2}}}={\frac {1}{2}}+{\frac {2}{3}}+{\frac {1}{2^{2}}}\sum _{k=1}^{2\times 2}{\frac {k}{k+2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}\sum _{k=1}^{3\times 2}{\frac {k}{k+3^{2}}}+\dots .}}$
• ${\displaystyle 2\gamma =\lim \limits _{z\to 0}{\frac {1}{z}}\left\{{\frac {1}{\Gamma (1+z)}}-{\frac {1}{\Gamma (1-z)}}\right\}}$
• ${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{3\gamma ^{2}}}=\lim _{z\to 0}{\frac {1}{z}}\left\{{\frac {1}{\Psi (1-z)}}-{\frac {1}{\Psi (1+z)}}\right\}.}$
• ${\displaystyle \gamma =\ln \pi -4\ln \Gamma ({\tfrac {3}{4}})+{\frac {4}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}{\frac {\ln(2k+1)}{2k+1}}.}$
• ${\displaystyle e^{-\gamma }=\lim \limits _{x\to \infty }\ln x\prod \limits _{p\leqslant x}\left(1-{\frac {1}{p}}\right).}$
• ${\displaystyle \sum \limits _{p\leqslant x}{\frac {\ln p}{p-1}}=\ln x-\gamma +o(1).}$

Непарыўны дроб

Раскладанне пастаяннай ${\displaystyle \gamma }$ у непарыўны дроб пачынаецца паслядоўнасцю [0; 1, 1, 2, 1, 2, 1, 4, 3, 13, 5, 1, 1, 8, 1, 2, 4, 1, 1, 40, …]  A002852, у якой не відно яўнай заканамернасці. Непарыўны дроб мае сама менш 470 000 «паверхаў»^[1]. У непарыўным дробе будзе бесканечна многа элементаў, калі і толькі калі ${\displaystyle \gamma }$ ірацыянальнае.

Адкрытыя праблемы

• Да гэтага часу не выяўлена, ці з'яўляецца гэты лік рацыянальным. Аднак тэорыя непарыўных дробаў паказвае, што калі пастаянная Эйлера — рацыянальны дроб, яго назоўнік большы за ${\displaystyle 10^{242080}}$.^[1]

Гл. таксама

• Спіс аб'ектаў, названых у гонар Леанарда Эйлера