Пераўтварэнне Гільберта

У матэматыцы і апрацоўцы сігналаў пераўтварэнне Гільберта — лінейны аператар, які супастаўляе кожнай функцыі ${\displaystyle u(t)}$ функцыю ${\displaystyle H(u(t))}$ у той жа вобласці.

Пераўтварэнне Гільберта можа быць вызначана ў сэнсе галоўнага значэння інтэграла па Кошы:

${\displaystyle H(u)(t)={\frac {1}{\pi }}{\text{v.p.}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\frac {u(\tau )}{t-\tau }}\,d\tau }$

Ці, больш відавочна:

${\displaystyle H(u)(t)=-{\frac {1}{\pi }}\lim _{\epsilon \to 0}\int \limits _{\epsilon }^{\infty }{\frac {u(t+\tau )-u(t-\tau )}{\tau }}\,d\tau .}$

Пры двухразовым ужыванні пераўтварэння Гільберта функцыя змяняе знак:

${\displaystyle H(H(u))(t)=-u(t),\,}$

пры ўмове, што абое пераўтварэнні існуюць.

Сувязь з пераўтварэннем Фур'е

Пераўтварэнне Гільберта з'яўляецца множнікам у спектральнай вобласці.

${\displaystyle {\mathcal {F}}(H(u))(\omega )=-i\ \mathrm {sgn} (\omega )\cdot {\mathcal {F}}(u)(\omega ),}$

дзе ${\displaystyle {\mathcal {F}}(f)(\omega )=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }f(t)e^{-i\omega t}dt}$ — варыянт прамога пераўтварэння Фур'е без множніка, які нарміруе.

Зваротнае пераўтварэнне

${\displaystyle H^{-1}=-H\,}$

Гл. таксама

• Лічбава-тэарэтычныя пераўтварэнні
• Пераўтварэнне Фур’е
• Пераўтварэнне Лапласа
• Пераўтварэнне Гільберта-Хуанга

Спасылкі

• Пераўтварэнне Гільберта. Аналітычны сігнал. Архівавана 17 кастрычніка 2010.