Размеркаванне Кашы

Размеркаванне Кашы — абсалютна непарыўнае размеркаванне імавернасцей, названае ў гонар Агюстэна Кашы. Вядомае таксама, асабліва ў фізіцы, пад назвай «размеркаванне Лорэнца» (у гонар Хендрыка Лорэнца). Размеркаванне Кашы мае пункт перасячэння праменя^[en], выпушчанага пад раўнамерна размеркаваным вуглом, з воссю абсцыс. Гэта таксама размеркаванне дачынення паміж двума незалежнымі нармальна размеркаванымі выпадковымі велічынямі з нулявым матэматычным спадзяваннем.

Размеркаванне Кашы

Шчыльнасць імавернасці Фіялетавая крывая адлюстроўвае стандартнае размеркаванне Кашы
Функцыя размеркавання
Параметры	${\displaystyle x_{0}\!}$ зрух (рэчаісны лік) ${\displaystyle \gamma >0}$ маштаб[en] (дадатны рэчаісны лік)
Носьбіт функцыі[en]	${\displaystyle \displaystyle x\in (-\infty ,+\infty )\!}$
Шчыльнасць імавернасці	${\displaystyle {\frac {1}{\pi \gamma \,\left[1+\left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)^{2}\right]}}\!}$
Функцыя размеркавання	${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}\arctan \left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)+{\frac {1}{2}}\!}$
Функцыя квантылей	${\displaystyle x_{0}+\gamma \,\tan[\pi (p-{\tfrac {1}{2}})]}$
Матэматычнае спадзяванне	нявызначанае
Медыяна	${\displaystyle x_{0}\!}$
Мода	${\displaystyle x_{0}\!}$
Дысперсія	нявызначаная
Сярэдняе абсалютнае адхіленне[en]	${\displaystyle \gamma }$
Каэфіцыент асіметрыі	нявызначаны
Каэфіцыент эксцэсу	нявызначаны
Энтрапія[en]	${\displaystyle \log(4\pi \gamma )\!}$
Утваральная функцыя момантаў[en]	не існуе
Характарыстычная функцыя[en]	${\displaystyle \displaystyle \exp(x_{0}\,i\,t-\gamma \,|t|)\!}$
Інфармацыя Фішэра[en]	${\displaystyle {\frac {1}{2\gamma ^{2}}}}$

У статыстыцы размеркаванне Кашы часта выкарыстоўваюць як прыклад «паталагічнага^[en]» размеркавання, бо яго матэматычнае спадзяванне і дысперсія нявызначаныя.

Азначэнне

Размеркаваннем Кашы завецца размеркаванне са шчыльнасцю^[1]:89

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\pi \gamma }}{\frac {1}{1+\left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)^{2}}},}$

дзе ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \gamma >0}$ — параметры.

Функцыя размеркавання Кашы мае выгляд

${\displaystyle F(x)={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\arctan {\frac {x-x_{0}}{\gamma }}.}$

Зноскі

1. Звяровіч Э. І., Радына А. Я. Элементы тэорыі імавернасцей. — Мінск: Беларусь, 2013. — С. 69. — ISBN 978-985-01-1043-5.