Бэта-функцыя

У матэматыцы бэта-функцыяй (Β-функцыяй, бэта-функцыяй Эйлера або Эйлеравым інтэгралам I-га роду) называецца наступная спецыяльная функцыя ад двух зменных:

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\int \limits _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt,}$

Бэта-функцыя
Названа ад	Леанард Эйлер
Формула, якая апісвае закон або тэарэму	${\displaystyle \operatorname {B} (z,w)=\int \limits _{0}^{1}t^{z-1}(1-t)^{w-1}\mathrm {d} t}$[1] і ${\displaystyle \operatorname {B} (z,w)={\frac {\operatorname {\Gamma } (z)\operatorname {\Gamma } (w)}{\operatorname {\Gamma } (z+w)}}}$[1]
Пазначэнне ў формуле	${\displaystyle \operatorname {B} (z,w)}$, ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x}$ і ${\displaystyle \operatorname {\Gamma } (z)}$
Медыяфайлы на Вікісховішчы

Графік бэта-функцыі пры рэчаісных аргументах

вызначаная пры ${\displaystyle \Re (x)>0,}$ ${\displaystyle \Re (y)>0.}$

Бэта-функцыя была даследавана Эйлерам і Лежандрам, А назву ёй даў Жак Бінэ.

Уласцівасці

Бэта-функцыя сіметрычная адносна перастаноўкі зменных, гэта значыць

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (y,x).}$

Бэта-функцыю можна выразіць праз іншыя функцыі:

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\frac {\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}},}$

дзе ${\displaystyle \Gamma (x)}$ — гама-функцыя;

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=2\int \limits _{0}^{\pi /2}\sin ^{2x-1}\theta \cos ^{2y-1}\theta \,d\theta ,\qquad \Re (x)>0,\ \Re (y)>0;}$

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}}\,dt,\qquad \Re (x)>0,\ \Re (y)>0;}$

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\frac {1}{y}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(y)_{n+1}}{n!(x+n)}},}$

дзе ${\displaystyle (x)_{n}}$ — сыходны фактарыял, роўны ${\displaystyle x\cdot (x-1)\cdot (x-2)\cdot \ldots \cdot (x-n+1).}$

Як гама-функцыя для цэлых лікаў з’яўляецца абагульненнем фактарыяла, так і бэта-функцыя з’яўляецца абагульненнем бінаміяльных каэфіцыентаў з трохі змененымі параметрамі:

${\displaystyle \mathrm {C} _{n}^{k}={\frac {1}{(n+1)\mathrm {B} (n-k+1,k+1)}}.}$

Вытворныя

Частковыя вытворныя у бэта-функцыі наступныя:

${\displaystyle {\partial \over \partial x}\mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (x,y)\left({\Gamma ^{\prime }(x) \over \Gamma (x)}-{\Gamma ^{\prime }(x+y) \over \Gamma (x+y)}\right)=\mathrm {B} (x,\;y)(\psi (x)-\psi (x+y)),}$

дзе ${\displaystyle \psi (x)}$ — дыгама-функцыя.

Няпоўная бэта-функцыя

Няпоўная бэта-функцыя — гэта абагульненне бэта-функцыі, якое замяняе інтэграл па адрэзку ${\displaystyle [0,1]}$ на інтэграл з пераменнай верхняй мяжой:

${\displaystyle \mathrm {B} _{x}(a,b)=\int \limits _{0}^{x}t^{a-1}\,(1-t)^{b-1}\,dt.}$

Пры ${\displaystyle x=1}$ няпоўная бэта-функцыя супадае з поўнай.

Рэгулярызаваная няпоўная бэта-функцыя

Рэгулярызаваная няпоўная бэта-функцыя вызначаецца праз поўную і няпоўную бэта-функцыі:

${\displaystyle I_{x}(a,b)={\frac {\mathrm {B} _{x}(a,b)}{\mathrm {B} (a,b)}}.}$

Уласцівасці рэгулярызаванай няпоўнай бэта-функцыі:

• ${\displaystyle I_{0}(a,b)=0;}$
• ${\displaystyle I_{1}(a,b)=1;}$
• ${\displaystyle I_{x}(a,b)=1-I_{1-x}(b,a);}$
• ${\displaystyle I_{x}(a+1,b)=I_{x}(a,b)-{\frac {x^{a}(1-x)^{b}}{aB(a,b)}}.}$

Гл. таксама

• Гама-функцыя

Зноскі

1. 2-20.4 // ISO 80000-2:2019Quantities and units — Part 2: Mathematics — 2 — ISO, 2019. — 36 с.

   <a href='https://wikidata.org/wiki/Track:Q109490582'></a><a href='https://wikidata.org/wiki/Track:Q15028'></a>