Сюр’екцыя

Сюр’е́кцыя (ад фр. sur «на, над» + лац. jactio «кідаю»), сюр’ектыўнае адлюстраванне — адлюстраванне мноства ${\displaystyle X}$ на мноства ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle (f\colon X\to Y)}$, пры якім кожны элемент мноства ${\displaystyle Y}$ з’яўляецца вобразам прынамсі аднаго элемента мноства ${\displaystyle X}$, гэта значыць, ${\displaystyle \forall y\in Y\exists x\in X:y=f(x)}$, іначай кажучы — гэта функцыя, якая прымае ўсе мажлівыя значэнні. Часам кажуць, што сюр’ектыўнае адлюстраванне ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ адлюстроўвае ${\displaystyle X}$ на ${\displaystyle Y}$ (у супрацьлегласць ін’ектыўнаму адлюстраванню, якое адлюстроўвае ${\displaystyle X}$ у ${\displaystyle Y}$).

Сюр’ектыўная функцыя.

Паняцце сюр’екцыі (разам з ін’екцыяй і біекцыяй) уведзена ва ўжытак у працах Бурбакі і атрымала ўсеагульнае распаўсюджванне амаль ва ўсіх раздзелах матэматыкі.

Уласцівасці

Адлюстраванне ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ сюр’ектыўнае тады і толькі тады, калі вобраз мноства ${\displaystyle X}$ пры адлюстраванні ${\displaystyle f}$ супадае з ${\displaystyle Y}$: ${\displaystyle f(X)=Y}$. Таксама сюр’ектыўнасць функцыі ${\displaystyle f}$ эквівалентная існаванню правага адваротнага адлюстравання, гэта значыць, адлюстравання ${\displaystyle g\colon Y\to X}$ такога, што ${\displaystyle f(g(y))=y}$ для кожнага ${\displaystyle y\in Y}$ (у функцыянальных абазначэннях — ${\displaystyle f\circ g=\mathbf {Id} _{Y}}$).

Прыклады

• ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to [-1;\;1],\;f(x)=\sin x}$ — сюр’ектыўнае.
• ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} _{+},\;f(x)=x^{2}}$ — сюр’ектыўнае.
• ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\;f(x)=x^{2}}$ — не з’яўляецца сюр’ектыўным (напрыклад, не існуе такога ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$, што ${\displaystyle f(x)=-9}$).

Літаратура

• Н. К. Верещагин, А. Шень. Начала теории множеств // Лекции по математической логике и теории алгоритмов.