Тэарэма множання імавернасцей

Тэарэма множання імавернасцей дае магчымасць падлічыць імавернасць здабытку некалькіх падзей, выкарыстоўваючы ўмоўную імавернасць.

Фармулёўка[1]:34-36

Для дзвюх падзей

Для дзвюх падзей ${\displaystyle A}$ і ${\displaystyle B}$, такіх што ${\displaystyle P(B)>0}$ выконваецца $${\displaystyle P(AB)=P(A|B)P(B),}$$ дзе ${\displaystyle P(A|B)}$ — умоўная імавернасць ${\displaystyle A}$ пры выкананні ${\displaystyle B}$.

Для канечнага мноства падзей

Для канечнага мноства падзей ${\displaystyle A_{1},A_{2},\dots ,A_{n}}$, такіх што ${\displaystyle P(A_{1}A_{2}\dots A_{n-1})>0}$ выконваецца

$${\displaystyle P(A_{1}A_{2}\dots A_{n})=P(A_{1})P(A_{2}|A_{1})P(A_{3}|A_{1}A_{2})P(A_{n}|A_{1}A_{2}\dots A_{n-1}).}$$

Доказ

Тэарэма даказваецца метадам матэматычнай індукцыі.

Для ${\displaystyle n=2}$ роўнасць вынікае з азначэння ўмоўнай імавернасці ${\displaystyle P(A|B)=P(AB)/P(B)}$, дамнажаючы абодва бакі на ${\displaystyle P(B)}$.

Дапусцім, што ${\displaystyle n>2}$ і выконваецца $${\displaystyle P(A_{1}A_{2}\dots A_{n-1})=P(A_{1})P(A_{2}|A_{1})P(A_{3}|A_{1}A_{2})P(A_{n-1}|A_{1}A_{2}\dots A_{n-2}).}$$

Пазначым ${\displaystyle B=A_{1}A_{2}\dots A_{n-1}}$ і атрымаем

$${\displaystyle P(A_{1}\dots A_{n-1}A_{n})=P(BA_{n})=P(B)P(A_{n}|B)=}$$ $${\displaystyle =P(A_{1})P(A_{2}|A_{1})P(A_{3}|A_{1}A_{2})P(A_{n}|A_{1}A_{2}\dots A_{n-1}).}$$

Прыклад выкарыстання

Разгледзім скрыню з ${\displaystyle N}$ шарамі, ${\displaystyle M}$ з якіх белыя, а астатнія чорныя. Будзем браць паслядоўна тры шары са скрыні. Трэба знайсці імавернасць таго, што першы і трэці выцягнутыя шары — белыя, а другі — чорны.

Пазначым падзеі ${\displaystyle A_{1}}$ — «першы шар — белы», ${\displaystyle A_{2}}$ — «другі шар — чорны», ${\displaystyle A_{3}}$ — «трэці шар — белы». Тады падзея, якая нас цікавіць, — ${\displaystyle A_{1}A_{2}A_{3}}$. Знойдзем яе імавернасць з дапамогай тэарэмы множання імавернасцей:

$${\displaystyle P(A_{1}A_{2}A_{3})=P(A_{1})P(A_{2}|A_{1})P(A_{3}|A_{1}A_{2})={\frac {M}{N}}{\frac {N-M}{N-1}}{\frac {M-1}{N-2}}.}$$

Зноскі

1. Звяровіч Э. І., Радына А. Я. Элементы тэорыі імавернасцей. — Мінск: Беларусь, 2013. — ISBN 978-985-01-1043-5.