Формула Стырлінга

У матэматыцы формула Стырлінга^[1] (таксама формула Муаўра — Стырлінга) — формула для прыбліжанага вылічэння фактарыяла і гама-функцыі. Названа ў гонар Джеймса Стырлінга і Абрахама дэ Муаўра, апошні лічыцца аўтарам формулы.^[2]

Формула Стырлінга
Названа ад	James Stirling[d]
Вывучаецца ў	тэорыя функцый рэчаіснай пераменнай[d]
Першаадкрывальнік	Абрахам дэ Муаўр
Формула, якая апісвае закон або тэарэму	${\displaystyle \ln n!=n\ln n-n+O(\ln n)}$ і ${\displaystyle n\,!\sim {\sqrt {2\pi n}}\,\left({n \over {\rm {e}}}\right)^{n}}$
Медыяфайлы на Вікісховішчы

Адносіна (ln n!) да (n ln n − n) імкнецца да 1 з ростам n.

Найбольш ужывальны варыянт формулы:

${\displaystyle \ln \Gamma (n+1)=\ln n!=n\ln n-n+O(\ln(n))\ }$

Наступны член у O(log(n)) — гэта ¹⁄₂ln(2πn); такім чынам больш дакладнае прыбліжэнне:

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {n!}{{\sqrt {2\pi n}}\,\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}}=1,}$

што раўназначна

${\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}.}$

Формула Стырлінга з’яўляецца першым прыбліжэннем пры раскладанні фактарыяла ў рад Стырлінга:

${\displaystyle {\begin{aligned}n!&\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+{1 \over 12n}+{1 \over 288n^{2}}-{139 \over 51840n^{3}}-{571 \over 2488320n^{4}}+\cdots \right)\\&={\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+{\frac {1}{(2^{1})(6n)^{1}}}+{1 \over (2^{3})(6n)^{2}}-{139 \over (2^{3})(2\cdot 3\cdot 5)(6n)^{3}}\,-\right.\\&\qquad \left.-\,{571 \over (2^{6})(2\cdot 3\cdot 5)(6n)^{4}}+\cdots \right).\end{aligned}}}$

Формула Стырлінга выкарыстоўваецца ў тэорыі імавернасцей, матэматычнай статыстыцы, статыстычнай фізіцы і інш.^[1]

Зноскі

1. БелЭн 2002.
2. Pearson, Karl, "Historical note on the origin of the normal curve of errors", Biometrika, 16: 402–404 [p. 403]: «Стырлінг толькі паказаў, што арыфметычная сталая ў формуле Муаўра роўная ${\displaystyle {\sqrt {2\pi }}}$. Я лічу, што гэта не робіць яго аўтарам тэарэмы».