Паралелагра́м (ад грэц. parallelos — паралельны і gramme — лінія) — гэта чатырохвугольнік, у якога процілеглыя бакі парамі паралельныя, г.зн. ляжаць на паралельных прамых. Прамавугольнік, ромб і квадрат з'яўляюцца асобнымі выпадкамі паралелаграма.
Процілеглыя бакі паралелаграма роўныя
, .
Процілеглыя вуглы паралелаграма роўныя
Дыяганалі паралелаграма перасякаюцца і пунктам скрыжавання палавіняцца
, .
Сума вуглоў, прылеглых да аднаго боку, роўная 180°.
Сума квадратаў дыяганаляў паралелаграма роўная суме квадратаў яго чатырох бакоў
Доказы
Правядучы дыяганаль ''BD'', мы атрымаем два трохвугольніка ''ABD'' і ''BCD'', якія роўныя, бо адзін бок у іх агульны, а адпаведныя вуглы пры боку ''BD'' роўныя як накрыж ляжалыя пры паралельных прамых ''AB''||''CD'', ''BC''||''AD'', дзе ''BD'' - сечная. З роўнасці трохвугольнікаў следуе: |''AB''|=|''CD''|, |''AD''|=|''BC''| і ∠''A'' = ∠''З''.
Процілеглыя вуглы ∠''B'' і ∠''D'' таксама роўныя, т.к. яны ўяўляюць сабою сумы роўных вуглоў.
Нарэшце, вуглы, прылеглыя да аднаго боку, напрыклад ∠''A'' і ∠''D'', даюць у суме 180°, бо гэтыя вуглы ўнутраныя аднабаковыя пры паралельных прамых.
ЧатырохвугольнікABCD з'яўляецца паралелаграмам, калі выконваецца адна з наступных умоў:
Процілеглыя бакі парамі роўныя (|AB| = |CD|, |AD| = |BC|).
Два процілеглыя бакі роўныя і паралельныя (|AB| = |CD|, AB || CD).
Дыяганалі дзеляцца ў пункце іх скрыжавання напалову (|AO| = |OC|, |BO| = |OD|).
Доказы
Хай чатырохвугольнік ''ABCD'' такі што: |''AB''| = |''CD''| і |''BC''| = |''AD''|.
Правядзем дыяганаль ''BD'', мы атрымаем два трохвугольніка, якія роўныя, бо ў іх ''BD'' - агульны бок, |''AB''| = |''CD''| і |''BC''| = |''AD''| (з умовы).
З роўнасці гэтых трохвугольнікаў следуе: ∠''ABD'' = ∠''BDC'' і ∠''ABD'' = ∠''CBD'' і з прычыны гэтага ''AB''||''CD'' і ''BC''||''AD''.
Хай чатырохвугольнік ''ABCD'' такі што: ''BC'' || ''AD'' і |''BC''| = |''AD''|.
Трохвугольнікі ''ABC'' і ''CDA'' роўныя (гл папярэдні доказ) => ∠''BAC'' = ∠''DCA''. Такім чынам ''AB''||''CD''.
Плошчу паралелаграма можна знайсці па наступных формулах: