Логаритъм
From Wikipedia, the free encyclopedia
Логаритъм (на старогръцки λόγος – „отношение“ + ἀριθμός – „число“[1][2]) на дадено число е показателят на степента , на която трябва да бъде повдигната основата , за да се получи числото . Логаритъмът от с основа се записва като logb (x) или без скоби, като logb x; и дори без уточняване на основата, като log x, когато не може да стане объркване. Изчисляването на логаритъма се нарича логаритмуване и е математическа функция, обратна на степенуването.
От определението в явен вид връзката между логаритъм и степен е:
- тогава и само тогава, когато .
Например, log2 64 = 6, тъй като 64 = 26.
В най-простия случай логаритъмът е броят на еднаквите множители в произведение от еднакви множители. Например, тъй като 1000 = 10 × 10 × 10 = 103, логаритъмът с основа 10 на 1000 е 3.
По-общо, степенуването позволява всяко положително реално число да бъде повдигнато на всяка реална степен, като резултатът е винаги положителен, така че логаритъмът на всеки две положителни реални числа и , където е различно от 1, е винаги уникално реално число y. Числата и най-често са реални, но има и теория за комплексните логаритми.
Логаритъмът с основа 10 (b = 10) се нарича десетичен логаритъм и се използва често в науката и техниката. Натуралният логаритъм има за основа неперовото число e (b ≈ 2,71828182...) и широко се използва в математиката и физиката, заради своята проста производна. За тези две основи се използват и специални означения – ln вместо loge и lg вместо log10. Двоичният логаритъм има основа 2 (b = 2) и е често използван в компютърните науки.
Цялата част от логаритъма се нарича характеристика, а дробната част се нарича мантиса. Например има характеристика , а мантисата е .
Логаритмите започват да се използват в началото на XVII век от Джон Непер като средство за опростяване на някои изчисления. Те бързо намират широко приложение в науката и техниката за изчисления със сметачна линия или предварително подготвени логаритмични таблици. При тях се използва едно важно свойство на логаритмите – сумата от логаритмите на две числа е равна на логаритъм от тяхното произведение: loga(xy) = loga(x) + loga(y). Съвременното означение на логаритмите е въведено през XVIII век от Леонард Ойлер, който открива и тяхната връзка с експоненциалната функция.
Аналогично на логаритъма на реалните числа, комплексният логаритъм е обратна функция на експоненциалната функция при комплексните числа. Друг вариант на логаритмичната функция е дискретният логаритъм, използван в криптографията.
Логаритмичните скали се използват за по-компактно изобразяване на величини, които варират в широки граници. Например, децибелът е логаритмична мярка, измерваща отношения (електрически потенциали, мощности или звуково налягане). В химията водородният показател (pH) е логаритмична мярка за киселинността на воден разтвор. Логаритмите се срещат често в различни научни формули, както и в измервания за сложността на алгоритми и при фракталите. С тях се описват музикалните интервали, участват в оценки за броя на простите числа или в някои модели на психофизиката.