Антисиметрична матрица

Антисиметрична матрица наричаме квадратна матрица ${\displaystyle A(a_{ij})}$, за която е изпълнено ${\displaystyle a_{ij}=-a_{ji}}$ за всеки ${\displaystyle i,j.}$

Например ${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&5&1\\-5&0&7\\-1&-7&0\end{pmatrix}}}$.

Свойства

1. Рангът на всяка антисиметрична матрица е четен.
2. ${\displaystyle A^{T}=-A}$ (следва от ${\displaystyle a_{ij}=-a_{ji}}$)
3. Всички числа по главния диагонал са нули. (${\displaystyle a_{ii}=-a_{ii}\Rightarrow a_{ii}=0}$)^[1]
4. Нека A е n-мерна антисиметрична матрица. Ако n е нечетно, то ${\displaystyle det(A)=0}$, а ако n е четно, ${\displaystyle det(A)\geq 0}$^[2]
5. За реални антисиметрични матрици ненулевите собствени стойности на матрицата са чисто имагинерни и следователно имат вида ${\displaystyle \lambda _{1}i,-\lambda _{1}i,\lambda _{2}i,-\lambda _{2}i,\ldots }$ където всички ${\displaystyle \lambda _{k}}$ са реални числа.
6. Всяка квадратна матрица A може да бъде представена като сума от симетрична и антисиметрична матрица както следва: ${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\left(A+A^{\mathsf {T}}\right)+{\frac {1}{2}}\left(A-A^{\mathsf {T}}\right).}$^[3]