Барицентрични координати

Барицентричните координати са скаларни параметри, наборът от които еднозначно определя местоположението на точка в афинното пространство (при условие че в това пространство е избран определен точков базис^[1]) чрез препратка към симплекс. Барицентричните координати на точка могат да се интерпретират като маси, поставени във върховете на симплекса, така че точката да е центърът на масата на тези маси.

Точков базис (понякога се използва терминът „барицентричен координатен базис“^[2]) в ${\displaystyle n}$-мерно афинно пространство ${\displaystyle A}$ е система от ${\displaystyle (n+1)}$ точки ${\displaystyle P_{0},P_{1},\ldots ,P_{n}}$, за които се приема, че са афинно независими [т.е. не лежат в ${\displaystyle (n-1)}$-мерно подпространство на разглежданото пространство].

Всяка точка има барицентрични координати и тяхната сума никога не е нула.

Барицентрични координати (λ1,λ2,λ3) на равностранен триъгълник и на правоъгълен триъгълник

Определение

Нека ${\displaystyle P}$ е произволна точка в ${\displaystyle A}$. Всяка точка ${\displaystyle M\in A}$ може да бъде уникално представена като барицентрична комбинация

${\displaystyle M=P+\alpha _{0}\cdot {\overrightarrow {PP}}_{0}+\alpha _{1}\cdot {\overrightarrow {PP}}_{1}+\ldots +\alpha _{n}\cdot {\overrightarrow {PP}}_{n};}$

барицентричността на линейната комбинация от точки от дясната страна означава, че реалните числа ${\displaystyle \alpha _{0},\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}}$ (комбинационни коефициенти) отговарят на условието

${\displaystyle \alpha _{0}+\alpha _{1}+\ldots +\alpha _{n}=1.}$

Числата ${\displaystyle \alpha _{0},\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}}$ се наричат ​​барицентрични координати на точка ${\displaystyle M}$. Лесно е да се види, че барицентричните координати не зависят от избора на точката ${\displaystyle P}$.

Горното равенство, написано в символиката на барицентричното смятане, може да бъде записано във вида:

${\displaystyle M=\alpha _{0}P_{0}+\alpha _{1}P_{1}+\ldots +\alpha _{n}P_{n}.}$

Свойства

• Барицентричните координати на точките на симплекса върхове в ${\displaystyle P_{0},P_{1},\ldots ,P_{n}}$ са неотрицателни и сборът им е равен на единица.
• Приравняването на нула на барицентричната координата ${\displaystyle \alpha _{i}}$ е еквивалентно на факта, че точката лежи в равнината, съдържаща лицето на симплекса, противоположно на върха ${\displaystyle P_{i}}$. Това свойство позволява да се разгледат барицентричните координати на точките на симплициален комплекс спрямо всички негови върхове.
• Две групи от барицентрични координати определят една и съща точка само ако са пропорционални; тоест, ако един кортеж може да бъде получен чрез умножаване на елементите на другия кортеж по същото ненулево число.
• За точка ${\displaystyle X}$, разположена вътре в триъгълника ${\displaystyle ABC}$, за барицентрични координати могат се приемат площите на триъгълниците ${\displaystyle (S_{BCX}:S_{CAX}:S_{ABX})}$.
• Барицентричните координати са тясно свързани с трилинейните координати. А именно, ако ${\displaystyle (\alpha$ :\beta :\gamma )} са барицентричните координати на точка ${\displaystyle X}$ спрямо триъгълника ${\displaystyle ABC}$ и ${\displaystyle a,b,c}$ са дължините на неговите страни, тогава

${\displaystyle (x:y:z)=\left({\frac {\alpha }{a}}:{\frac {\beta }{b}}:{\frac {\gamma }{c}}\right)}$

са неговите трилинейни координати. Трилинейните координати, подобно на барицентричните, се определят с точност до пропорционалност.

• Точка ${\displaystyle M}$ е центърът на масите на тежести с маси ${\displaystyle \alpha _{0},\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}}$, разположени в точки ${\displaystyle P_{0},P_{1},\ldots ,P_{n}}$.

Вижте също

• Афинно пространство
• Афинни преобразования
• Трилинейни координати