Електродинамика

Електродинамиката е дял от теоретичната физика, който изучава електромагнитното поле, зависещо от времето, и неговото взаимодействие с тела, имащи електричен заряд.

Предметът на електродинамиката включва връзката между електрически и магнитни явления, електромагнитно излъчване (в различни условия, както свободно, така и в различни случаи на взаимодействие с материята), електрически ток (най-общо казано, променлив) и неговото взаимодействие с електромагнитно поле (електрическият ток може да се разглежда при това като набор от движещи се заредени частици). Всяко електрическо и магнитно взаимодействие между заредени тела се разглежда в съвременната физика като осъществяващо се с помощта на електромагнитно поле и следователно също е предмет на електродинамиката.

В зависимост от условията, в които се намират разглежданите тела, се разделя на класическа електродинамика и квантова електродинамика.

Основни величини

Формулировка

Въздействие на ел. поле на заряди спрямо:	заряд Q	затворен контур C	затворена повърхнина S	затворен контур C	затворена повърхнина S
Величина	${\displaystyle Q}$	${\displaystyle \mathbf {E} }$ , ${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon \ \mathbf {E} }$	${\displaystyle \mathbf {\Phi _{e}} }$	${\displaystyle \mathbf {H} }$ , ${\displaystyle \mathbf {B} =\mu \ \mathbf {H} }$	${\displaystyle \mathbf {\Phi _{m}} }$
Първа производна ${\displaystyle {{d} \over {dt}}}$	${\displaystyle i={{dQ} \over {dt}}}$	${\displaystyle {{dE} \over {dt}}}$ , ${\displaystyle {{dD} \over {dt}}}$	${\displaystyle {{d\mathbf {\Phi _{e}} } \over {dt}}}$	${\displaystyle {dH} \over {dt}}$, ${\displaystyle {dB} \over {dt}}$	${\displaystyle {{d\mathbf {\Phi _{m}} } \over {dt}}}$
Втора производна ${\displaystyle {{d^{2}} \over {dt^{2}}}}$	${\displaystyle {{di} \over {dt}}}$	${\displaystyle {{d^{2}E} \over {dt^{2}}}}$, ${\displaystyle {{d^{2}D} \over {dt^{2}}}}$	${\displaystyle {{d^{2}\Phi _{e}} \over {dt^{2}}}}$	${\displaystyle {{d^{2}H} \over {dt^{2}}}}$, ${\displaystyle {{d^{2}B} \over {dt^{2}}}}$	${\displaystyle {{d^{2}\Phi _{m}} \over {dt^{2}}}}$

Означения и измерителни единици

Символ	Значение	Измерителна единица в СИ
${\displaystyle \mathbf {E} }$	Интензитет (напрегнатост) на електричното поле	${\displaystyle V/m}$ волт на метър
${\displaystyle \mathbf {H} }$	Интензитет (напрегнатост) на магнитното поле	${\displaystyle A/m}$ ампер на метър
${\displaystyle \mathbf {D} }$	Електрична индукция (плътност на електрическия поток)	${\displaystyle C/m^{2}}$ кулон на квадратен метър
${\displaystyle \mathbf {B} }$	Магнитна индукция (плътност на магнитния поток)	${\displaystyle T}$, ${\displaystyle Wb/m^{2}}$или ${\displaystyle N \over {A.m}}$ тèсла, вебер на квадратен метър или Нютон/(Ампер.метър)
${\displaystyle \ \rho \ }$	Плътност на свободните електрични заряди (не се включват свързаните диполни двойки)	${\displaystyle C/m^{3}}$ кулон на кубически метър
${\displaystyle \mathbf {J_{e}} }$, ${\displaystyle \mathbf {i_{e}} }$	Плътност на електрическия ток (не включва поляризационните токове и токовете на намагнитване в средата)	${\displaystyle A/m^{2}}$ ампер на квадратен метър
${\displaystyle \mathbf {J_{m}} }$, ${\displaystyle \mathbf {i_{m}} }$	Плътност на магнитния ток (не включва поляризационните токове и токовете на намагнитване в средата)	${\displaystyle A/m^{2}}$ ампер на квадратен метър
${\displaystyle d\mathbf {S} }$	Диференциален вектор, равен по дължина на площта на пренебрежимо малка област ${\displaystyle \Delta S}$ → ${\displaystyle 0}$, с посока по нормалата към повърхността на тази област	${\displaystyle m^{2}}$ квадратен метър
${\displaystyle dV\ }$	Диференциален елемент от обема V заграден от повърхност S	${\displaystyle m^{3}}$ кубически метър
${\displaystyle d\mathbf {l} }$	Диференциален вектор на елемента от пътя, с посока по тангентата към затворен контур C, заграждащ площ S	${\displaystyle m}$ метър
${\displaystyle \nabla \cdot }$	Дивергенция	${\displaystyle 1/m}$ единица на метър
${\displaystyle \nabla \times }$	Ротация или завихряне	${\displaystyle 1/m}$ единица на метър
${\displaystyle \nabla \cdot }$	Градиент	${\displaystyle 1/m}$ единица на метър

Основни зависимости

Основните зависимости в електродинамиката се определят от четирите уравнения на Максуел:

№	Наименование	Диференциална форма	Интегрална форма
1	Закон на Ампер– (в разширения от Максуел вариант):	${\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J_{np}} +{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}}$	${\displaystyle \oint _{L}\mathbf {H} \cdot d\mathbf {l} =\int _{S}\mathbf {J_{np}} \cdot d\mathbf {S} +{d \over dt}\int _{S}\mathbf {D} \cdot d\mathbf {S} }$
2	Закон на Фарадей за промяна на магнитната индукция	${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$	${\displaystyle \oint _{L}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {l} =-\ {d \over dt}\int _{S}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {S} }$
3	Закон на Гаус за потока на електричната индукция	${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {D} =\rho }$	${\displaystyle \oint _{S}\mathbf {D} \cdot d\mathbf {S} =\int _{V}\rho \cdot dV}$
4	Закон на Гаус за потока на магнитната индукция	${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}$	${\displaystyle \oint _{S}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {S} =0}$

1. Закон на Ампер-Максуел (закон на Ампер за пълния ток). Циркулацията на вектора на напрегнатостта на магнитното поле по затворен контур е равна на пълния ток, преминаващ през произволна повърхнина, ограничена от контура:

${\displaystyle \oint _{L}\mathbf {H} \cdot d\mathbf {l} =I_{np}+I_{c}}$

Максуел полага, че величината ${\displaystyle i_{c}={{I_{c}} \over {S}}=\varepsilon {{dE} \over {dt}}}$ има смисъла на плътност на ток ${\displaystyle I_{c}}$, протичащ през останалата част от затворената повърхност извън областта L, който нарича ток на сместване. С него се обяснява пренасянето на електрична енергия през непроводящи среди чрез изменение на електричното поле във времето. Пълният ток ${\displaystyle I}$ е сума от тока на проводимост ${\displaystyle I_{np}}$ и тока на сместване ${\displaystyle I_{c}}$: ${\displaystyle I=I_{np}+I_{c}}$. Плътността на тока на проводимост е ${\displaystyle \mathbf {J_{np}} =i_{np}={{I_{np}} \over {S}}=\sigma E}$

Законът на Ампер-Максуел в интегрална форма може да се запише и чрез магнитната индукция ${\displaystyle \mathbf {B} }$:

${\displaystyle \oint _{L}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {l} =\mu .(I_{np}+I_{c})}$

Тъй като законът важи за всяка повърхност, ако тя е безкрайно малка, като се разделят двете страни на горните равенства на ${\displaystyle S}$ и се намери граничният преход на лявата част при ${\displaystyle \Delta S}$ → ${\displaystyle 0}$, получава се първото уравнение на Максуел в диференциална форма:

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J_{np}} +{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}}$

или:

${\displaystyle \operatorname {rot} \mathbf {H} =\sigma \mathbf {E} +\varepsilon {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}}$

2. Закон на Фарадей за промяна на магнитната индукция. Електродвижещото напрежение по затворен контур е равно на скоростта на изменение на магнитния поток (промяната на магнитната индукция) през заградената от този контур площ със знак минус:

${\displaystyle e=\oint _{S}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {S} =-{\frac {d\Phi _{\mathbf {m} }}{dt}}}$ ,

където ${\displaystyle \Phi _{\mathbf {m} }=\int _{S}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {S} }$ e магнитният поток през областта с площ ${\displaystyle S}$.

Тъй като законът важи за всяка повърхност, ако тя е безкрайно малка, като се разделят двете страни на горното равенство на ${\displaystyle S}$ и се намери граничният преход на лявата част при ${\displaystyle \Delta S}$ → ${\displaystyle 0}$, получава се второто уравнение на Максуел в диференциална форма:

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {dB}{dt}}}$ или

${\displaystyle \operatorname {rot} \mathbf {E} =-\mu {\frac {\partial \mathbf {H} }{\partial t}}}$.

3. Закон на Гаус за потока на електричната индукция. Потокът на електричната индукция през затворена повърхност е равен на обемната плътност на свободните заряди в обема, заграден от повърхността:

${\displaystyle \mathbf {\Phi _{e}} =\oint _{S}\mathbf {D} \cdot d\mathbf {S} ={\rho }}$ или

${\displaystyle \mathbf {\Phi _{e}} =\oint _{S}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {S} ={\rho \over {\varepsilon }}}$.

При безкрайно малка повърхност ${\displaystyle \Delta S}$ → ${\displaystyle 0}$ аналогично се получава третото уравнение на Максуел в диференциален вид:

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {D} ={\rho }}$ и ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ={{\rho } \over {\varepsilon }}}$ или

${\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {D} ={\rho }}$ и ${\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon }}}$.

Ако средата е идеален диелектрик, няма свободни заряди, обемната им плътност ${\displaystyle \rho =0}$ и записите на теоремата на Гаус добиват вида:

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {D} =0}$ и ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =0}$ или

${\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {D} =0}$ и ${\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {E} =0}$.

Това означава, че силовите линии на електрическото поле в идеален диелектрик са непрекъснати.

4. Закон на Гаус за потока на магнитната индукция. Потокът на магнитната индукция през затворена повърхност е равен на нула.

${\displaystyle \mathbf {\Phi _{m}} =\oint _{S}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {S} =0}$

При безкрайно малка повърхност ${\displaystyle \Delta S}$ → ${\displaystyle 0}$ аналогично се получава четвъртото уравнение на Максуел в диференциален вид:

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}$ и ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {H} =0}$, или

${\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {B} =0}$ и ${\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {H} =0}$.

Следователно, силовите линии на магнитното поле винаги са непрекъснати.

• Портал „Физика“