Задача на Пилц

Задачата на Пилц^[1] е задача от аналитичната теория на числата за определяне на осреднените стойности на обобщените тау-функции.

Известно е, че за всяко естествено m > 1 съществуват константа ${\displaystyle \theta _{m}}$ и полином ${\displaystyle P_{m}}$ от степен не по-висока от m - 1 такива, че

${\displaystyle \sum _{n\leq s}\tau _{m}(n)=sP_{m}(\ln s)+O\left(x^{\theta _{m}+\varepsilon }\right)\,}$

за всяко ε > 0, където ${\displaystyle \{\tau _{m}\}_{m=2,3,...}}$ са обобщените тау-функции. За ${\displaystyle m=2}$ задачата е известна под наименованието задача на Дирихле. Точните стойности на константите ${\displaystyle \theta _{m}}$ не са известни. Предполага се, че

${\displaystyle \theta _{m}={\frac {m-1}{2m}}.}$