Ламбертова конформна конична проекция

Ламбертовата конформна конична проекция (LCC) е конична картографска проекция, често използвана в авиационните карти. Основа е на много национални и регионални геодезични координатни системи в целия свят.

Карта в Ламбертова конформна конична проекция със стандартни паралели при 20°N и 50°N

Характеристики

Проектиране на земната повърхнина върху конус при Ламбертовата конформна конична проекция с два стандартни паралела

• конична
• конформна
• паралелите са неравномерно разположени сегменти от концентрични окръжности. По-близко разположени са в центъра на картата
• меридианите са равномерно разположени радиуси на същите окръжности. Следователно те пресичат паралелите под прав ъгъл
• мащабът е верен по дължината на стандартните паралели (или по единствения стандартен паралел)
• полюсът в хемисферата, където е разположен стандартния паралел, е точка. Противоположният полюс не може да бъде изобразен, тъй като е в безкрайността^[1]

Проекцията обвива с конус референтния елипсоид (земната сфера) и проектира земната повърхнина конформно (запазвайки ъглите) върху конуса. Конусът се развива и на паралела (окръжността), в който конуса е допирал сферата, се присвоява мащаб. Този паралел се нарича референтен или стандартен. Възможна е вариация на проекцията при която конусът не се допира до елипсоида, а го сече в два близки стандартни паралела. В този случай мащабът между двата стандартни паралела намалява, а извън тях се увеличава.

История

Тя е първата от седемте проекции, предложени от швейцарския енциклопедист Йохан Ламберт във фундаменталния му труд Anmerkungen und Zusätze zur Entwerfung der Land – und Himmelscharten^[2] Въпреки по-късната си публикация, предпочитаната конична проекция през 18-и и 19 век остава Еквивалентната конична проекция на Алберс, вероятно заради нейното по-добро предаване на площите. В началото на 20 век Ламбертовата конформна конична проекция започва да се ползва все по-често в картни материали на американския USC & GS. По същото време неин вариант е приет за официален във Франция. Това дава начало на масовото ѝ разпространение по света.^[1]

Приложение

По света

Авиационна карта в Ламбертова конформна конична проекция със стандартни паралели при 33°N и 45°N°.

Карти в Ламбертова конформна конична проекция се използват в авиацията, защото начертана права линия между две точки на такава карта се доближава до оптималния маршрут по ортодромията за типичните полетни дистанции.

Американските VFR-карти се базират на LCC при стандартни паралели 44°N и 49°N. Европейската агенция по околната среда препоръчва ползването на LCC под името „ETRS89-LCC“ за картиране в Европа при мащаби 1:500 000 и по-дребни. Официалната проекция на континентална Франция е LCC под името „Lambert-93“ със стандартни паралели 44°N и 49°N. Индийската национална пространствена мрежа използва датум WGS84 и LCC проекция.

В България

Координатна система 1970

Българската „Координатна система 1970“^[3] е дефинирана през 1969 г. от полк. д-р инж. К. Лесидренски изключително за гражданска употреба. Целта е била да се отдели цивилното картно производство от официалната държавна геодезическа система, която да остане „скрита“ само за военно приложение. Дефиниционните параметри на КС1970 са проектирани в условия на пълна секретност и остават неизвестни и до днес. Известно е, че четирите застъпващи се зони (К-3, К-5, К-7 и К-9) са независимо проектирани в Ламбертова конформна конична проекция с един стандартен паралел, с по 7 независими параметъра за всяка зона (общо 28 параметъра):

• две координати (φ_i, λ_i)₅₀ за начало на зоната
• две транслации Δφ, Δλ и една ротация ΔA
• две транслации ΔX, ΔY

Използвана е съвместно с височинна система "Балтийска".

Българска геодезическа система 2000 (БГС 2000)

Приета е с Постановление на МС № 140 от 04.06.2001 г. за определяне на Българска геодезическа система 2000 и въвежда европейската геодезическа координатна система ETRF-89, (съвместима със световната GRS80, сходна с WGS84), като използва Ламбертовата конформна конична проекция, съгласно чл. 1, ал. 2, т. 3 от постановлението.^[4]

Българска геодезическа система 2005 (БГС 2005)

Българска геодезическа система 2005 (БГС 2005) видоизменя и замества БГС 2000. Приета е с Постановление на Министерски съвет № 153 от 29 юли 2010 г. за „Въвеждане на „Българска геодезическа система 2005”.^[5] Изоставя се Ламбертовата проекция, тъй като с Наредба № 2 от 2010 г., която детайлизира постановлението, се въвежда Универсална напречна цилиндрична проекция на Меркатор (Universal Transverse Mercator - UTM), и въведената чрез нея система от правоъгълни равнинни координати проекция, която е универсална и глобална.^[6][7] БГС 2005 синхронизира координатната система с ETRS89, реализация ETRF2000,^[8] епоха 2005.^[9]

Други

Едно от последните съвременни приложения на Ламбертовата конформна конична проекция е при изработка на геоложки карти на средните географски ширини на Луната в мащаб 1:1 000 000, както и за някои карти на Меркурий, Марс и спътниците на Юпитер^[1]

Деформации

Проекцията дава най-добри резултати при картиране на обекти с удължена форма в направление изток-запад в средните географски ширини. Предава приблизително точно формата на обектите, но изкривява площите. В близост до и по стандартните паралели формите и площите се предават точно. Между двата стандартни паралела площите са по-малки от реалните, извън тях – по-големи. Локалните ъгли се съхраняват по цялата площ на картата.^[10]

Трансформация

За сфероид

Координати от сферична геодезическа референтна система (датум) може да се трансформират към Декартови координати в Ламбертова конформна конична проекция със следните формули:

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\rho \sin \left[n\left(\lambda -\lambda _{0}\right)\right]\end{aligned}}}$

(1.1)

${\displaystyle {\begin{aligned}y&=\rho _{0}-\rho \cos \left[n\left(\lambda -\lambda _{0}\right)\right]\end{aligned}}}$

(1.2)

където

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda \end{aligned}}}$ – е географската дължина

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{0}\end{aligned}}}$ – е референтната географска дължина

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi \end{aligned}}}$ – е географската ширина

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi _{0}\end{aligned}}}$ – е референтната географска ширина

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi _{1},\varphi _{2}\end{aligned}}}$ – са географските ширини на стандартните паралели

${\displaystyle {\begin{aligned}n&={\frac {\ln \left(\cos \varphi _{1}\sec \varphi _{2}\right)}{\ln \left[\tan \left({\frac {1}{4}}\pi +{\frac {1}{2}}\varphi _{2}\right)\cot \left({\frac {1}{4}}\pi +{\frac {1}{2}}\varphi _{1}\right)\right]}}\end{aligned}}}$

(1.3)

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho &=F\cot ^{n}\left({\tfrac {1}{4}}\pi +{\tfrac {1}{2}}\varphi \right)\end{aligned}}}$

(1.4)

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho _{0}&=F\cot ^{n}\left({\tfrac {1}{4}}\pi +{\tfrac {1}{2}}\varphi _{0}\right)\end{aligned}}}$

(1.5)

${\displaystyle {\begin{aligned}F&={\frac {\cos \varphi _{1}\tan ^{n}\left({\frac {1}{4}}\pi +{\frac {1}{2}}\varphi _{1}\right)}{n}}\end{aligned}}}$

(1.6)

При единствен стандартен паралел (т.е. φ₁ = φ₂), формулата за n горе е неопределена и може да се приеме, че n = sin(φ₁).^[1]

За сфероид, обратна

При известни:

${\displaystyle \varphi _{1},\varphi _{2},\varphi _{0},\lambda _{0},x,y,n}$ от ур. 1.3${\displaystyle ,F}$ от ур. 1.6 и ${\displaystyle \rho _{0}}$ от ур. 1.5

${\displaystyle \varphi =2\arctan \left(F/\rho \right)^{\frac {1}{n}}-\pi /2}$

(2.1)

${\displaystyle \lambda =\theta /n+\lambda _{0}}$

(2.2)

където

${\displaystyle \rho =\pm \left[x^{2}+\left(\rho _{0}-y\right)^{2}\right]^{\frac {1}{2}}{\text{ ,взема знака на }}n}$

(2.3)

${\displaystyle \theta =\arctan \left[x/\left(\rho _{0}-y\right)\right]}$

(2.4)

За елипсоид

При известни:

${\displaystyle a,e,\varphi _{1},\varphi _{2},\varphi _{0},\lambda _{0},\varphi {\text{ и }}\lambda }$

${\displaystyle x=\rho \sin \theta }$

(3.1)

${\displaystyle y=\rho _{0}-\rho \cos \theta }$

(3.2)

${\displaystyle k=\rho n/\left(am\right)}$

(3.3)

${\displaystyle =m_{1}t^{n}/\left(mt_{1}^{n}\right)}$

(3.4)

където

${\displaystyle \rho =aFt^{n}}$

(3.5)

${\displaystyle \theta =n\left(\lambda -\lambda _{0}\right)}$

(3.6)

${\displaystyle \rho _{0}=aFt_{0}^{n}}$

(3.7)

${\displaystyle n={\frac {\ln m_{1}-\ln m_{2}}{\ln t_{1}-\ln t_{2}}}}$

(3.8)

${\displaystyle m={\frac {\cos \varphi }{\left(1-e^{2}\sin ^{2}\varphi \right)^{\frac {1}{2}}}}}$

(3.9)

${\displaystyle t={\frac {\tan \left({\frac {1}{4}}\pi -{\frac {1}{2}}\varphi \right)}{\left[{\frac {1-e\sin \varphi }{1+e\sin \varphi }}\right]^{\left({\frac {1}{2}}e\right)}}}}$

(3.10)

или

${\displaystyle =\left[\left({\frac {1-\sin \varphi }{1+\sin \varphi }}\right)\left({\frac {1+e\sin \varphi }{1-e\sin \varphi }}\right)^{e}\right]^{\frac {1}{2}}}$

(3.10a)

${\displaystyle F=m_{1}/\left(nt_{1}^{n}\right)}$

(3.11)

В ур. 3.9${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle \varphi }$ се индексират с еднакви индекси 1, 2 или без индекс.

В ур. 3.10${\displaystyle t}$ и ${\displaystyle \varphi }$ се индексират с еднакви индекси 0, 1, 2 или без индекс за заместване в ур. 3.4, ур. 3.5 и ур. 3.8.

За елипсоид, обратна

При известни:

${\displaystyle a,e,\varphi _{1},\varphi _{2},\varphi _{0},\lambda _{0},\varphi {\text{ и }}\lambda }$

${\displaystyle n,F{\text{ и }}\rho _{0}}$ се изчисляват съответно по ур. 3.8, ур. 3.11 и ур. 3.7

${\displaystyle \varphi =\pi /2-2\arctan \left\{t\left[{\frac {\left(1-e\sin \varphi \right)}{\left(1+esin\varphi \right)}}\right]^{\left({\frac {1}{2}}e\right)}\right\}}$

(4.1)

където

${\displaystyle t=\left(\rho /aF\right)^{\frac {1}{n}}}$

(4.2)

${\displaystyle \rho =\pm \left[x^{2}+\left(\rho _{0}-y\right)^{2}\right]^{\frac {1}{2}}{\text{ ,взема знака на }}n}$

(4.3)

${\displaystyle \lambda =\theta /n+\lambda _{0}}$

(4.4)

${\displaystyle \theta =\arctan \left[x/\left(\rho _{0}-y\right)\right]}$

(4.5)

Ако ${\displaystyle n}$ е отрицателно, знаците на ${\displaystyle x,y}$ и ${\displaystyle \rho _{0}}$ се обръщат.

За изчисляването на ур. 4.1 се използва сходящ итеративен алгоритъм: Изчислява се ${\displaystyle t}$ по ур. 4.2. След това, използвайки начално ${\displaystyle \varphi =\left(\pi /2-2\arctan t\right)}$ за дясната част на ур. 4.1, се изчислява ${\displaystyle \varphi }$ вляво. Изчисленото ${\displaystyle \varphi }$ се замества вдясно и калкулацията на ур. 4.1 се повтаря. Итеративният алгоритъм приключва когато изчисленото ${\displaystyle \varphi }$ при текущата и предишната стъпка са еднакви.