Матрична експонента

Матричната експонента е математическа матрична функция на квадратните матрици, аналогична на експоненциалната функция при числата. Нейна обратна функция е матричният логаритъм.

Ако X е реална или комплексна матрица с размери n×n, експонентата на X e^X е матрица с размери n×n, дефинирана от степенния ред

${\displaystyle e^{X}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}X^{k}}$,

където ${\displaystyle X^{0}}$ е единичната матрица ${\displaystyle I}$ със същите размери като ${\displaystyle X}$.^[1] Редът винаги е сходящ, така че експонентата е напълно определена.

Еквивалентна дефиниция на матричната експонента е

${\displaystyle e^{X}=\lim _{k\rightarrow \infty }\left(I+{\frac {X}{k}}\right)^{k}}$.

Когато X е диагонална матрица n×n, експонентата e^X също е диагонална матрица n×n, в която всеки диагонален елемент е равен на числовата експонента на съответния елемент на X.

Матричната експонента се използва в решаването на системи от линейни диференциални уравнения.