Методи на Рунге-Кута

В математическия анализ, методите на Рунге-Кута са важна част от имплицитните и експлицитните итеративни методи за получаване на приближено решение на обикновени диференциални уравнения. Тези похвати са били въведени около 1900 г. от немските математици Карл Рунге и Мартин Вилхелм Кута.

Метод на Рунге-Кута от 4-ти ред

Методът на Рунге-Кута от 4-ти ред е най-често използваният, също известен като „РК“, „Класически метод на Рунге-Кута“ или просто „Метод на Рунге-Кута“.

Дадена е следната начална задача (още се нарича „задача на Коши“):

${\displaystyle {\dot {y}}=f(t,y),\quad y(t_{0})=y_{0}.}$

Казано с думи, това означава, че стойностите, които получава y са функции на y и на t(time). В началото времето е ${\displaystyle t_{0}}$, a y е ${\displaystyle y_{0}}$. В уравнението y може да е скаларна или векторна променлива.

Методът на РК от 4-ти ред за тази задача е получен от следните формули:

${\displaystyle {\begin{aligned}y_{n+1}&=y_{n}+{\tfrac {1}{6}}\left(k_{1}+2k_{2}+2k_{3}+k_{4}\right)\\t_{n+1}&=t_{n}+h\\\end{aligned}}}$

където ${\displaystyle y_{n+1}}$ приближението с РК4 на ${\displaystyle y(t_{n+1})}$, и

${\displaystyle {\begin{aligned}k_{1}&=hf(t_{n},y_{n}),\\k_{2}&=hf(t_{n}+{\tfrac {1}{2}}h,y_{n}+{\tfrac {1}{2}}k_{1}),\\k_{3}&=hf(t_{n}+{\tfrac {1}{2}}h,y_{n}+{\tfrac {1}{2}}k_{2}),\\k_{4}&=hf(t_{n}+h,y_{n}+k_{3}).\end{aligned}}}$^[1]

(Забележка: горните уравнения имат различни, но равнозначни дефиниции в различните текстове).^[2]

Така новата стойност (${\displaystyle y_{n+1}}$) се пресмята с помощта на текущата стойност(${\displaystyle y_{n}}$) плюс стойност на четирите нараствания с определени тегла, където всяко нарастване е произведение от големината на интервала h и оценения наклон, зададен от функцията f от дясната страна на диференциалното уравнение.

• ${\displaystyle k_{1}}$ е нарастване, основаващо се на наклона от началото на интервала, използвайки ${\displaystyle y_{n}}$, Метод на (Ойлер);
• ${\displaystyle k_{2}}$ е нарастване, основаващо се на наклона от междинна точка от интервала, използвайки ${\displaystyle y_{n}+{\tfrac {1}{2}}k_{1}}$;
• ${\displaystyle k_{3}}$ е отново нарастване, основаващо се на налкона от междинна точка, но използвайки ${\displaystyle y_{n}+{\tfrac {1}{2}}k_{2}}$;
• ${\displaystyle k_{4}}$ е нарастване, основаващо се на наклона в края на интервала, използвайки ${\displaystyle y_{n}+k_{3}}$.

При усредняване на четирите нараствания се дава по-голямо тегло на нарастванията в междинните точки. Теглата са избрани така, че ако ${\displaystyle f}$ не зависи от ${\displaystyle y}$ и диференциалното уравнение има пръв интеграл, тогава РК4 e „правило на Симпсън“.^[3]

РК4 е метод от 4-ти ред, което означава, че грешката на всяка стъпка е от порядъка на ${\displaystyle h^{5}}$, докато крайната натрупана грешка има ред ${\displaystyle h^{4}}$.

Явни методи на Рунге-Кута

Семейството на експлицитните методи на Рунге-Кута са обобщение на РК4 метода, споменат преди малко. Те са представени чрез:

${\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+\sum _{i=1}^{s}b_{i}k_{i},}$

където

${\displaystyle k_{1}=hf(t_{n},y_{n}),\,}$

${\displaystyle k_{2}=hf(t_{n}+c_{2}h,y_{n}+a_{21}k_{1}),\,}$

${\displaystyle k_{3}=hf(t_{n}+c_{3}h,y_{n}+a_{31}k_{1}+a_{32}k_{2}),\,}$

${\displaystyle \vdots }$

${\displaystyle k_{s}=hf(t_{n}+c_{s}h,y_{n}+a_{s1}k_{1}+a_{s2}k_{2}+\cdots +a_{s,s-1}k_{s-1}).}$^[4]

(Забележка: горните уравнения имат различни, но равнозначни дефиниции в различните текстове).^[2]

За да се специфицира определен метод, е нужно да се зададе цяло число s (брой етапи) и коефициентите a_ij (за 1 ≤ j < i ≤ s), b_i (за i = 1, 2, ..., s) и c_i (за i = 2, 3, ..., s). Матрицата [a_ij] се нарича матрица на Рунге-Кута, където b_i и c_i са познати като тегла и възли.^[5] Таблицата на Бутчер е следната:

	0
	${\displaystyle c_{2}}$	${\displaystyle a_{21}}$
	${\displaystyle c_{3}}$	${\displaystyle a_{31}}$	${\displaystyle a_{32}}$
	${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$		${\displaystyle \ddots }$
	${\displaystyle c_{s}}$	${\displaystyle a_{s1}}$	${\displaystyle a_{s2}}$	${\displaystyle \cdots }$	${\displaystyle a_{s,s-1}}$
		${\displaystyle b_{1}}$	${\displaystyle b_{2}}$	${\displaystyle \cdots }$	${\displaystyle b_{s-1}}$	${\displaystyle b_{s}}$

Методът на Рунге-Кута е коректен, ако

${\displaystyle \sum _{j=1}^{i-1}a_{ij}=c_{i}\ \mathrm {for} \ i=2,\ldots ,s.}$

Има и други съпътстващи изисквания, ако искаме метода да има определен ред p, което ознавача, че локалното грешката от закръгляване е O(h^p+1). Това може да бъде извлечено от дефиницията за грешка от закръгляване. Например, 2-етапен метод е от 2-ри ред ако b₁ + b₂ = 1, b₂c₂ = 1/2, и a₂₁ = c₂.^[6]

Примери

РК4 методът има следната структура. Неговата таблицата е както следва:^[7]

	0
	1/2	1/2
	1/2	0	1/2
	1	0	0	1
		1/6	1/3	1/3	1/6

Най-простият метод на Рунге-Кута е методът на Ойлер, представен с формулата ${\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+hf(t_{n},y_{n})}$. Това е единственият коректно поставен експлицитен метод на Рунге-Кута от един етап. Таблицата, която отговаря на тази формула е:

	0
		1

Методи от 2-ри ред

Методът на междинната точка представлява пример за метод от 2-ри ред с два етапа:

${\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+hf\left(t_{n}+{\frac {1}{2}}h,y_{n}+{\frac {1}{2}}hf(t_{n},y_{n})\right).}$

Таблицата е:

	0
	1/2	1/2
		0	1

ТМетодът на междинната точка не е единствен метод на РК от 2-ри ред с два етапа. Всъщност, има семейство от такива методи, параметризирани с α и представени с формула

${\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+h{\bigl (}(1-{\tfrac {1}{2\alpha }})f(t_{n},y_{n})+{\tfrac {1}{2\alpha }}f(t_{n}+\alpha h,y_{n}+\alpha hf(t_{n},y_{n})){\bigr )}.}$^[8]

Таблицата на Бутчер е:

	0
	${\displaystyle \alpha }$	${\displaystyle \alpha }$
		${\displaystyle 1-{\tfrac {1}{2\alpha }}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2\alpha }}}$

В това семейство при частния случай ${\displaystyle \alpha ={\tfrac {1}{2}}}$ получаваме метода на междинната точка, а при ${\displaystyle \alpha =1}$ метод на Хойн.^[3]

Използване

Като пример, да разгледаме метода на РК от 2-ри ред с 2 етапа с α=2/3. Той се представя с таблицата:

	0
	2/3	2/3
		1/4	3/4

със съответните уравнения:

${\displaystyle {\begin{aligned}k_{1}&=f(t_{n},y_{n}),\\k_{2}&=f(t_{n}+{\tfrac {2}{3}}h,y_{n}+{\tfrac {2}{3}}hk_{1}),\\y_{n+1}&=y_{n}+h\left({\tfrac {1}{4}}k_{1}+{\tfrac {3}{4}}k_{2}\right).\end{aligned}}}$

Методът се използва за да реши началната задача:

${\displaystyle y'=\tan(y)+1,\quad y(1)=1,\ t\in [1,1.1]}$

със стъпка h=0.025, следователно методът трябва да направи 4 стъпки.

Изпълнението на метода е както следва:

${\displaystyle t_{0}=1\colon }$
	${\displaystyle y_{0}=1}$
${\displaystyle t_{1}=1.025\colon }$
	${\displaystyle y_{0}=1}$	${\displaystyle k_{1}=2.557407725}$	${\displaystyle k_{2}=f(t_{0}+{\tfrac {2}{3}}h,y_{0}+{\tfrac {2}{3}}hk_{1})=2.7139}$
	${\displaystyle y_{1}=y_{0}+h({\tfrac {1}{4}}k_{1}+{\tfrac {3}{4}}k_{2})={\underline {1.066869388}}}$
${\displaystyle t_{2}=1.05\colon }$
	${\displaystyle y_{1}=1.066869388}$	${\displaystyle k_{1}=2.813524695}$	${\displaystyle k_{2}=f(t_{1}+{\tfrac {2}{3}}h,y_{1}+{\tfrac {2}{3}}hk_{1})}$
	${\displaystyle y_{2}=y_{1}+h({\tfrac {1}{4}}k_{1}+{\tfrac {3}{4}}k_{2})={\underline {1.141332181}}}$
${\displaystyle t_{3}=1.075\colon }$
	${\displaystyle y_{2}=1.141332181}$	${\displaystyle k_{1}=3.183536647}$	${\displaystyle k_{2}=f(t_{2}+{\tfrac {2}{3}}h,y_{2}+{\tfrac {2}{3}}hk_{1})}$
	${\displaystyle y_{3}=y_{2}+h({\tfrac {1}{4}}k_{1}+{\tfrac {3}{4}}k_{2})={\underline {1.227417567}}}$
${\displaystyle t_{4}=1.1\colon }$
	${\displaystyle y_{3}=1.227417567}$	${\displaystyle k_{1}=3.796866512}$	${\displaystyle k_{2}=f(t_{3}+{\tfrac {2}{3}}h,y_{3}+{\tfrac {2}{3}}hk_{1})}$
	${\displaystyle y_{4}=y_{3}+h({\tfrac {1}{4}}k_{1}+{\tfrac {3}{4}}k_{2})={\underline {1.335079087}}.}$

Числените решения отговарят на подчертаните стойности.

Адаптивни методи на Рунге-Кута

Адаптивните методи са съставени, така че да оценяват локалната грешката от закръгляване на всяка РК-стъпка. Това става използвайки два метода в таблици, единия от ред ${\displaystyle p}$, а другия от ред ${\displaystyle p-1}$.

Стъпката от по-нисък ред се получава от:

${\displaystyle y_{n+1}^{*}=y_{n}+\sum _{i=1}^{s}b_{i}^{*}k_{i},}$

където ${\displaystyle k_{i}}$ са същите като за метод от по-висок ред. Тогава грешката е:

${\displaystyle e_{n+1}=y_{n+1}-y_{n+1}^{*}=h\sum _{i=1}^{s}(b_{i}-b_{i}^{*})k_{i},}$

което е${\displaystyle O(h^{p})}$.

Таблицата на Бутчер за тови вид метод е разширена за да се въведат стойностите на ${\displaystyle b_{i}^{*}}$:

	0
	${\displaystyle c_{2}}$	${\displaystyle a_{21}}$
	${\displaystyle c_{3}}$	${\displaystyle a_{31}}$	${\displaystyle a_{32}}$
	${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$		${\displaystyle \ddots }$
	${\displaystyle c_{s}}$	${\displaystyle a_{s1}}$	${\displaystyle a_{s2}}$	${\displaystyle \cdots }$	${\displaystyle a_{s,s-1}}$
		${\displaystyle b_{1}}$	${\displaystyle b_{2}}$	${\displaystyle \cdots }$	${\displaystyle b_{s-1}}$	${\displaystyle b_{s}}$
		${\displaystyle b_{1}^{*}}$	${\displaystyle b_{2}^{*}}$	${\displaystyle \cdots }$	${\displaystyle b_{s-1}^{*}}$	${\displaystyle b_{s}^{*}}$

Методът на Рунге-Кута-Фелберг използва два метода от 5-и и 4-ти ред. Неговата разширена таблица е:

	0
	1/4	1/4
	3/8	3/32	9/32
	12/13	1932/2197	−7200/2197	7296/2197
	1	439/216	−8	3680/513	-845/4104
	1/2	−8/27	2	−3544/2565	1859/4104	−11/40
		16/135	0	6656/12825	28561/56430	−9/50	2/55
		25/216	0	1408/2565	2197/4104	−1/5	0

Най-простият адаптивен метод на РК включва комбинирането на метод на Хойн, който е от 2-ри ред, с метод на Ойлер, който е от 1-ви ред. Неговата разширена таблица е:

	0
	1	1
		1/2	1/2
		1	0

Оценката на грешката се използва за контролиране на големината на стъпката.

Неявни методи на Рунге-Кута

Всички споменати методи на Рунге-Кута са експлицитни. Експлицитните методи на Рунге-Кута са неподходящи за решаване на така наречените „stiff equations“ (твърди уравнения), защото обхвата на абсолютната им устойчивост е малък, по-точно ограничен.^[9] Този проблем е особено важен при решаването на частни диференциални уравнения.

Неустойчивостта на експлицитните методи подбужда създаването на имплицитните методи. Имплицитен метод на РК има формата:

${\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+\sum _{i=1}^{s}b_{i}k_{i},}$

където

${\displaystyle k_{i}=hf{\bigl (}t_{n}+c_{i}h,y_{n}+\sum _{j=1}^{s}a_{ij}k_{j}{\bigr )},\quad i=1,\ldots ,s.}$^[10]

Разликата с експлицитния метод е, че при експлицитния метод сумата на j стига само до i – 1. Това се вижда и в таблицата. За имплицитен метод, матрицата на коефициенти ${\displaystyle a_{ij}}$ не е непременно долно-триъгълна:^[7]

${\displaystyle {\begin{array}{c|cccc}c_{1}&a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1s}\\c_{2}&a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2s}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\c_{s}&a_{s1}&a_{s2}&\dots &a_{ss}\\\hline &b_{1}&b_{2}&\dots &b_{s}\\\end{array}}={\begin{array}{c|c}\mathbf {c} &A\\\hline &\mathbf {b^{T}} \\\end{array}}}$

Последиците от тази разлика са, че на всяка стъпка се решава система от алгебрични уравнения. Това значително повишава изчислителния разход. Ако метод със s етапа се използва за решаване на диференциално уравнение с m компонента, системата от алгебрични уравнения ще има ms компонента. За сравнение, при имплицитен s-стъпков линеен метод се решава система от алгебрични уравнения със само s компонента.^[11]

Примери

Най-простият имплицитен метод на РК е представен с метод на Ойлер назад:

${\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+hf(t_{n}+h,y_{n+1}).\,}$

Таблицата е просто:

${\displaystyle {\begin{array}{c|c}1&1\\\hline &1\\\end{array}}}$

Тази таблица отговаря на формулите:

${\displaystyle k_{1}=f(t_{n}+h,y_{n}+hk_{1})\quad {\text{and}}\quad y_{n+1}=y_{n}+hk_{1},}$

които могат да бъдат пренаредени за да се получи формула за метод на Ойлер назад, описан по-горе.

Друг пример за имплицитен метод на Рунге-Кута е правилото на трапеца. Съответната таблица е:

${\displaystyle {\begin{array}{c|cc}0&0&0\\1&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\\hline &{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\\end{array}}}$

Методите на Гаус-Льожандър формират семейство методи, базирани на квадратурата на Гаус. Метод на Гаус-Льожандър със s етапа е от ред 2s.^[12] Метод с два етапа (и 4-ти ред) има следната таблица:

${\displaystyle {\begin{array}{c|cc}{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{6}}{\sqrt {3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{4}}-{\frac {1}{6}}{\sqrt {3}}\\{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}{\sqrt {3}}&{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{6}}{\sqrt {3}}&{\frac {1}{4}}\\\hline &{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{array}}}$^[11]

Устойчивост

Предимството на имплицитните методи на Рунге-Кута пред експлицитните е по-голямата им устойчивост, особено когато се прилагат върху твърди уравнения. Разглеждаме линейното тестово уравнение y' = λy. Методът на РК, приложен за това уравнение, свежда решаването му до изпълняване на итерациите ${\displaystyle y_{n+1}=r(h\lambda )\,y_{n}}$, където r е дадено чрез

${\displaystyle r(z)=1+zb^{T}(I-zA)^{-1}e={\frac {\det(I-zA+zeb^{T})}{\det(I-zA)}},}$^[13]

където е е единичния вектор. Функцията r се нарича функция на устойчивостта.^[14] Експлицитните методи имат строга ниско-триъгълна матрица А, която предполага, че det(I − zA) = 1 и функцията на устойчивостта е полином.^[15]

Численото решение на линейното тестово уравнение се разпада до нула ако |r(z)| < 1 при z=hλ. Множеството от такива стойности на z се нарича област на абсолютна устойчивост. В частност, методът трябва да бъде A-стабилен, ако всяко z с Re(z)<0 се намира в областта на абсолютната устойчивост. Функцията на устойчивостта на експлицитния метод на РК е полином, следователно експлицитните методи на РК никога не могат да бъдат A-стабилни.^[15]

Извеждане на метода на Рунге-Кута от 4-ти ред

Методът на Рунге-Кута от ред ${\displaystyle s}$ може да бъде написан така:

${\displaystyle y_{t+h}=y_{t}+h\cdot \sum _{i=1}^{s}a_{i}k_{i}+{\mathcal {O}}(h^{s+1})}$

където:

${\displaystyle k_{i}=f\left(y_{t}+h\cdot \sum _{j=1}^{s}\beta _{ij}k_{j},t_{n}+\alpha _{i}h\right)}$

са нараствания получени чрез пресмятане на производните на ${\displaystyle y_{t}}$ в ${\displaystyle i}$-тия ред.

Извеждането на метода на Рунге-Кута от 4-ти ред се постига чрез използване на общата формула с ${\displaystyle s=4}$, както е описано по-горе, в началната точка, междинна точка и последната точка на всеки интервал ${\displaystyle (t,t+h)}$, затова избираме:

${\displaystyle \alpha _{i}}$	${\displaystyle \beta _{i}}$
${\displaystyle \alpha _{1}=0}$	${\displaystyle \beta _{21}={\frac {1}{2}}}$
${\displaystyle \alpha _{2}={\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle \beta _{32}={\frac {1}{2}}}$
${\displaystyle \alpha _{3}={\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle \beta _{43}=1}$
${\displaystyle \alpha _{4}=1}$

и ${\displaystyle \beta _{ij}=0}$. Започваме с определянето на следните величини:

${\displaystyle {\begin{aligned}y_{t+h}^{1}&=y_{t}+hf\left(y_{t},t\right)\\y_{t+h}^{2}&=y_{t}+hf\left(y_{t+h/2}^{1},t+{\frac {h}{2}}\right)\\y_{t+h}^{3}&=y_{t}+hf\left(y_{t+h/2}^{2},t+{\frac {h}{2}}\right)\end{aligned}}}$

където ${\displaystyle y_{t+h/2}^{1}={\dfrac {y_{t}+y_{t+h}^{1}}{2}}}$ and ${\displaystyle y_{t+h/2}^{2}={\dfrac {y_{t}+y_{t+h}^{2}}{2}}}$ Ако задедем:

${\displaystyle {\begin{aligned}k_{1}&=f(y_{t},t)\\k_{2}&=f\left(y_{t+h/2}^{1},t+{\frac {h}{2}}\right)\\k_{3}&=f\left(y_{t+h/2}^{2},t+{\frac {h}{2}}\right)\\k_{4}&=f\left(y_{t+h}^{3},t+h\right)\end{aligned}}}$

и имайки предвид горните изрази можем да покажем, че следните равенства имат точност ${\displaystyle {\mathcal {O}}(h^{2})}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}k_{2}&=f\left(y_{t+h/2}^{1},t+{\frac {h}{2}}\right)=f\left(y_{t}+{\frac {h}{2}}k_{1},t+{\frac {h}{2}}\right)\\&=f\left(y_{t},t\right)+{\frac {h}{2}}{\frac {d}{dt}}f\left(y_{t},t\right)\\k_{3}&=f\left(y_{t+h/2}^{2},t+{\frac {h}{2}}\right)=f\left(y_{t}+{\frac {h}{2}}f\left(y_{t}+{\frac {h}{2}}k_{1},t+{\frac {h}{2}}\right),t+{\frac {h}{2}}\right)\\&=f\left(y_{t},t\right)+{\frac {h}{2}}{\frac {d}{dt}}\left[f\left(y_{t},t\right)+{\frac {h}{2}}{\frac {d}{dt}}f\left(y_{t},t\right)\right]\\k_{4}&=f\left(y_{t+h}^{3},t+h\right)=f\left(y_{t}+hf\left(y_{t}+{\frac {h}{2}}k_{2},t+{\frac {h}{2}}\right),t+h\right)\\&=f\left(y_{t}+hf\left(y_{t}+{\frac {h}{2}}f\left(y_{t}+{\frac {h}{2}}f\left(y_{t},t\right),t+{\frac {h}{2}}\right),t+{\frac {h}{2}}\right),t+h\right)\\&=f\left(y_{t},t\right)+h{\frac {d}{dt}}\left[f\left(y_{t},t\right)+{\frac {h}{2}}{\frac {d}{dt}}\left[f\left(y_{t},t\right)+{\frac {h}{2}}{\frac {d}{dt}}f\left(y_{t},t\right)\right]\right]\end{aligned}}}$

където:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}f(y_{t},t)={\frac {\partial }{\partial y}}f(y_{t},t){\dot {y}}_{t}+{\frac {\partial }{\partial t}}f(y_{t},t)=f_{y}(y_{t},t){\dot {y}}+f_{t}(y_{t},t):={\ddot {y}}_{t}}$

е пълната производна на ${\displaystyle f}$ по отношение на времето t.

Ако изразим общата формула, използвайки това, което изведохме по-горе, получаваме:

${\displaystyle {\begin{aligned}y_{t+h}&=y_{t}+h\left\lbrace a\cdot f(y_{t},t)+b\cdot \left[f\left(y_{t},t\right)+{\frac {h}{2}}{\frac {d}{dt}}f\left(y_{t},t\right)\right]\right.+\\&+c\cdot \left[f\left(y_{t},t\right)+{\frac {h}{2}}{\frac {d}{dt}}\left[f\left(y_{t},t\right)+{\frac {h}{2}}{\frac {d}{dt}}f\left(y_{t},t\right)\right]\right]+\\&+d\cdot \left[f\left(y_{t},t\right)+h{\frac {d}{dt}}\left[f\left(y_{t},t\right)+{\frac {h}{2}}{\frac {d}{dt}}\left[f\left(y_{t},t\right)+\left.{\frac {h}{2}}{\frac {d}{dt}}f\left(y_{t},t\right)\right]\right]\right]\right\rbrace +{\mathcal {O}}(h^{5})\\&=y_{t}+a\cdot hf_{t}+b\cdot hf_{t}+b\cdot {\frac {h^{2}}{2}}{\frac {df_{t}}{dt}}+c\cdot hf_{t}+c\cdot {\frac {h^{2}}{2}}{\frac {df_{t}}{dt}}+\\&+c\cdot {\frac {h^{3}}{4}}{\frac {d^{2}f_{t}}{dt^{2}}}+d\cdot hf_{t}+d\cdot h^{2}{\frac {df_{t}}{dt}}+d\cdot {\frac {h^{3}}{2}}{\frac {d^{2}f_{t}}{dt^{2}}}+d\cdot {\frac {h^{4}}{4}}{\frac {d^{3}f_{t}}{dt^{3}}}+{\mathcal {O}}(h^{5})\end{aligned}}}$

И като сравним това с реда на Тейлър за ${\displaystyle y_{t+h}}$ около ${\displaystyle y_{t}}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}y_{t+h}&=y_{t}+h{\dot {y}}_{t}+{\frac {h^{2}}{2}}{\ddot {y}}_{t}+{\frac {h^{3}}{6}}y_{t}^{(3)}+{\frac {h^{4}}{24}}y_{t}^{(4)}+{\mathcal {O}}(h^{5})=\\&=y_{t}+hf(y_{t},t)+{\frac {h^{2}}{2}}{\frac {d}{dt}}f(y_{t},t)+{\frac {h^{3}}{6}}{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}f(y_{t},t)+{\frac {h^{4}}{24}}{\frac {d^{3}}{dt^{3}}}f(y_{t},t)\end{aligned}}}$

получаваме система от изисквания за коефициентите:

${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}&a+b+c+d=1\\&{\frac {1}{2}}b+{\frac {1}{2}}c+d={\frac {1}{2}}\\&{\frac {1}{4}}c+{\frac {1}{2}}d={\frac {1}{6}}\\&{\frac {1}{4}}d={\frac {1}{24}}\end{aligned}}\right.}$

която решена дава ${\displaystyle a={\frac {1}{6}},b={\frac {1}{3}},c={\frac {1}{3}},d={\frac {1}{6}}}$.