Метрично пространство

В математиката под метрика се разбира функция, задаваща разстоянието между елементите на дадено множество. Метрично пространство е множество снабдено с метрика.

Метрика пренасочва насам. За термина от стихознанието вижте версификация.

Формално определение

Една функция ${\displaystyle \rho }$ се нарича метрика, ако чрез нея на всяка наредена двойка ${\displaystyle (x,y)}$ от елементи ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ на множеството ${\displaystyle X}$ се съпоставя реалното число ${\displaystyle \rho (x,y)}$ и за всеки ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle z}$${\displaystyle \!^{\in }}$${\displaystyle X}$ са изпълнени следните три условия:^[1]

1. ${\displaystyle \rho (x,y)=0}$ тогава и само тогава, когато ${\displaystyle x=y}$ (аксиома за идентичност)
2. ${\displaystyle \rho (x,y)=\rho (y,x)}$ (аксиома за симетричност)
3. ${\displaystyle \rho (x,y)}$${\displaystyle \!^{\leq }}$${\displaystyle \rho (x,z)+\rho (z,y)}$ (аксиома на триъгълника или неравенство на триъгълника)

Тези аксиоми отразяват интуитивното понятие за разстояние. Например, разстоянието трябва да е неотрицателна величина (т.е. ${\displaystyle \rho (x,z)}$${\displaystyle \!^{\geq }}$${\displaystyle 0}$ за всеки две ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle z}$, което следва от аксиомата на триъгълника и аксиомата за симетричност при ${\displaystyle x=y}$). Също така разстоянието от ${\displaystyle x}$ до ${\displaystyle y}$ е същото, както и от ${\displaystyle y}$ до ${\displaystyle x}$. Неравенството на триъгълника означава, че от ${\displaystyle x}$ до ${\displaystyle y}$ може да се стигне по по-къс път, или поне не по по-дълъг, отколкото ако отначало се премине от ${\displaystyle x}$ до ${\displaystyle z}$, а след това от ${\displaystyle z}$ до ${\displaystyle y}$.

Наредената двойка ${\displaystyle (X,\rho )}$ се нарича метрично пространство.

Понятието е въведено от Морис Фреше през 1906 г.^[2]

Литература

• Александров П., Введение в теорию множеств и общую топологию, Издательство „Наука“, Москва, 1977

Външни препратки

• Metric space в: Encyclopaedia of Mathematics