Нормална група

Нормална подгрупа, нормален делител или инвариантна подгрупа в теория на групите е подгрупа от специален тип, позволяваща факторизиране на групи. Нормалните групи дължат съществуването си на несъвпадането, в общия случай, на левите съседни класове на дадена група с десните съседни класове на групата. Пръв Галоа осъзнава значението на нормалните групи за теория на групите.

Определение

Една подгрупа ${\displaystyle N\,}$, на група ${\displaystyle G\,}$, се нарича нормална подгрупа, отбелязва се ${\displaystyle N\trianglelefteq G,(N\triangleleft G,{\text{ако}}N\subsetneq G)}$, ако всеки ляв съседен клас на ${\displaystyle G\,}$ по ${\displaystyle N\,}$ съвпада с някой десен съседен клас на ${\displaystyle G\,}$ по ${\displaystyle N\,}$, или в алгебричен запис:
${\displaystyle N\trianglelefteq G\iff \{aN\ |\ a\in G\}\subseteq \{Nb\ |\ b\in G\}}$, което е еквивалентно на някое от следните три условия:

1. ${\displaystyle gN=Ng,\ \forall g\in G}$
2. ${\displaystyle g^{-1}Ng=N,\ \forall g\in G}$
3. ${\displaystyle g^{-1}ng\in N,\ \forall n\in N,\ \forall g\in N}$

Свойства

• Ядрото на хомоморфизъм на групи ${\displaystyle \varphi :G\to H}$ е нормална подгрупа на ${\displaystyle G\,}$.
• Всяка нормална подгрупа на дадена група е ядро на някой хомоморфизъм на групата. Нормалните групи изчерпват множеството от всички ядра на хомоморфизми на дадената група.
• Сечение на произволен брой нормални подгрупи на дадена група е също нормална подгрупа на групата.
• В абеловите групи всички подгрупи са нормални.

Литература

• Обрешков, Н. (1930), Висша алгебра, Том 1, София: Университетска библиотека N 93.
• Сидеров, Пл. и Чакърян, К. (2002), Записки по алгебра, групи, пръстени, полиноми, София: ВЕДИ.