Оператор на Лагранж

Най-често операторът на Лагранж се дефинира като разликата между кинетичната и потенциалната енергия на една система:

L = T – V

В едномерното пространство операторът на Лагранж за механична система е:

${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}m{\dot {\vec {x}}}^{2}-V({\vec {x}}).}$

Уравнението на Ойлер-Лагранж е:

${\displaystyle m{\ddot {\vec {x}}}+\nabla V({\vec {x}})=0}$

където точката обозначава производна спрямо времето, а набла (или дел) е оператор:

${\displaystyle \nabla ={\begin{pmatrix}{\partial \over \partial x},{\partial \over \partial y},{\partial \over \partial z}\end{pmatrix}}}$

Механиката на Лагранж представлява различен начин на представяне на Нютоновата механика.

${\displaystyle {\vec {F}}=-\nabla V(x)}$

Това уравнение е равнозначно на Втория закон на Нютон:

${\displaystyle {\vec {F}}=m{\ddot {\vec {x}}}}$

или в по-общата формула:

${\displaystyle {\vec {F}}={\frac {d{\vec {p}}}{dt}}}$

За тримерно пространство:

${\displaystyle {\frac {m}{2}}({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta {\dot {\varphi }}^{2})-V(r).}$

, r, θ, φ – сферични координати

Уравненията на Ойлер-Лагранж са:

${\displaystyle m{\ddot {r}}-mr({\dot {\theta }}^{2}+\sin ^{2}\theta {\dot {\varphi }}^{2})+V'=0,}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}(mr^{2}{\dot {\theta }})-mr^{2}\sin \theta \cos \theta {\dot {\varphi }}^{2}=0,}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}(mr^{2}\sin ^{2}\theta {\dot {\varphi }})=0.}$

Тази статия, свързана с физика, все още е мъниче. Помогнете на Уикипедия, като я редактирате и разширите.