Производна

Производна на функция е основно понятие в диференциалното смятане, което характеризира скоростта на изменение на функцията.^[1] Функция, която има производна, се нарича диференцируема. Понятието е въведено от Нютон и Лайбниц независимо един от друг.

Графиката на функция (в черно) и допирателната (в червено). Диференчното частно на допирателната е равно на производната в дадената точка.

Определение

Нека функцията y = f(x) е дефинирана в точка x₀ от дефиниционната си област. Нарастването на аргумента (означава се Δx) в този случай се определя като x−x₀, а нарастването на функцията (Δy) – като f(x)−f(x₀). Тогава, ако съществува граница ${\displaystyle \lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}}$, то тя се нарича производна на функцията f(x) в точката x₀.

Частното ${\displaystyle {\frac {\Delta y}{\Delta x}}}$ се нарича диференчно частно.

С други думи производна на функцията f(x) за дадена стойност (x₀) се нарича границата (ако съществува) на отношението на нарастването на функцията и нарастването на аргумента х, когато нарастването на аргумента клони към 0 ${\displaystyle {(\Delta x\rightarrow 0})}$.

Функция, която има производна в точка x, се нарича диференцируема в точка x. Математическото действие, с което се намира производната на една функция, се нарича диференциране.

Означения при диференциране

Съществуват различни начини за означаване на производните при диференциране.

Означение на Лайбниц

Означението за производна представено от Готфрид Лайбниц е едно от първите. То все още се използва когато уравнението y = ƒ(x) се разглежда като функционална зависимост между зависимите и независимите променливи. Първата производна се означава:

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}$ (произнася се „де игрек де хикс“)

Означение на Лагранж

Една от най-разпространените означения при диференциране е дело на Жозеф Луи Лагранж. Първата производна се означава:

${\displaystyle f'(x)\,}$ (произнася се „еф прим хикс“)

Означение на Нютон

${\displaystyle {\dot {x}}={\frac {dx}{dt}}=x'(t)}$, ${\displaystyle {\ddot {x}}=x''(t)}$

Означение на Ойлер

${\displaystyle D_{x}f(x)\;}$ – за първа производна,

${\displaystyle {D_{x}}^{2}f(x)\;}$ – за втора производна, и

${\displaystyle {D_{x}}^{n}f(x)\;}$ – за n-та производна при n > 1

Изчисляване на производни

Правила за диференциране

1. Ако k е константа, то (ku)′ = ku′.
2. (u+v)′ = u′+v′. Доказателство: Δ(u+v) = u(x+Δx)+v(x+Δx)−u(x)−v(x) = (u(x+Δx)−u(x))+(v(x+Δx)−v(x)) = Δu+Δv.
3. (u · v)′ = u′ · v + u · v′. Доказателство: Δ(u · v) → u(x + Δx) · v(x + Δx) – u(x) · v(x) → (u(x) + Δu) · (v(x) + Δv) – u(x) · v(x) → u(x) · v(x) + u(x) · Δv + v(x) · Δu + Δu · Δv – u(x) · v(x) → u(x) · Δv + v(x) · Δu + Δu · Δv. (границата е равна на u′ · v + u · v′).
4. ${\displaystyle (h(g(x)))'=h'[g(x)]g'(x)}$
5. (uv)⁽ⁿ⁾=${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}C_{n}^{k}u^{(n-k)}v^{(k)}}$ – формула на Лайбниц.
6. (u/v)′ = (u′v−uv′)/v². Доказателство: Δ(u/v) = u(x + Δx) / v(x + Δx) − u(x) / v(x) = (u(x + Δx)v(x) − u(x)v(x + Δx)) / (v(x)v(x + Δx)) =

(u(x + Δx)v(x) − u(x)v(x) − u(x)v(x + Δx) + u(x)v(x)) / (v(x)v(x + Δx)) = (Δu(x)v(x) – u(x)Δv(x)) / (v(x)v(x + Δx)), границата е равна на (u′v−uv′)/v².

Производни на някои функции

 Основна статия: Таблица на производни

1. ${\displaystyle const'=0}$ (константа), защото нарастването на всяка константа е 0.
2. (a^x)′ = a^x ln a, в частност, (e^x)′ = e^x
3. (log_ax)′ = 1/(x ln a) (логаритъм), в частност, (ln x)′ = 1/x
4. (x^a)′ = ax^a−1
5. ${\displaystyle ({\sqrt {x}})^{'}={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}}$
6. (sin x)′ = cos x (синус)
7. (cos x)′ = −sin x (косинус)
8. (tg x)′ = ${\displaystyle {\frac {1}{\cos ^{2}x}}}$ (тангенс)
9. (cotg x)′ = ${\displaystyle -{\frac {1}{\sin ^{2}x}}}$ (котангенс)
10. (arcsin x)′ = ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$ (аркуссинус)
11. (arccos x)′ = ${\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$ (аркускосинус)
12. (arctg x)′ = ${\displaystyle {\frac {1}{1+x^{2}}}}$ (аркустангенс)
13. (arcctg x)′ = ${\displaystyle -{\frac {1}{1+x^{2}}}}$ (аркускотангенс)

Примерно пресмятане

Производната на функцията

${\displaystyle f(x)=x^{4}+\sin(x^{2})-\ln(x)e^{x}+7\,}$

е равна на:

${\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&=4x^{(4-1)}+{\frac {d\left(x^{2}\right)}{dx}}\cos(x^{2})-{\frac {d\left(\ln {x}\right)}{dx}}e^{x}-\ln {x}{\frac {d\left(e^{x}\right)}{dx}}+0\\&=4x^{3}+2x\cos(x^{2})-{\frac {1}{x}}e^{x}-\ln(x)e^{x}.\end{aligned}}}$

Смисъл на понятието

Ако разгледаме скоростта на движение на едно тяло или дебита на една водна тръба или какъвто и да е друг показател, можем да изчислим средното изменение на показателя за определен интервал от време. Ако разгледаме едно тяло и крайните точки на времевия интервал са t и (t₀), то средната скорост на тялото ще е изменението в изминатия път към (t- t₀) (v = s/t). Колкото по-малък е този времеви интервал, толкова по-близо ще сме до дефиниране на скоростта в момента t₀.

Геометричен и физически смисъл на производната

Геометрично представяне на понятието

Производната на една функция в дадена точка е равна на тангенса от ъгъла, който допирателната към графиката ѝ в тази точка сключва с положителната посока на абсцисната ос.

Скорост на изменението на функцията път

Нека ${\displaystyle s=s(t)}$ е законът за пътя на праволинейното равномерно движение. Тогава ${\displaystyle v(t_{0})=s'(t_{0})}$ изразява моментната скорост на движението в момента от времето ${\displaystyle t_{0}.}$ Втората производна ${\displaystyle a(t_{0})=s''(t_{0})}$ изразява ускорението в момента ${\displaystyle t_{0}.}$

Въобще производната на функцията ${\displaystyle y=f(x)}$ в точката ${\displaystyle x_{0}}$ изразява скоростта на изменение на функцията в точката ${\displaystyle x_{0}}$.

Производни от по-висок ред

Нека f(x) е диференцуема функция и f′(x) е нейната производна. Производната на f′(x) (ако съществува) се означава като f′'(x) и се нарича втора производна на f(x). Също така производната на втората производна (ако съществува) се нарича трета производна. За някои функции този процес продължава и те имат четвърта и т.н. – производни от по-висок ред.

Функцията f може да няма производна – например, ако не е непрекъсната. Тогава тя може да няма и втора производна. Например нека

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}x^{2},&{\mbox{if }}x\geq 0\\-x^{2},&{\mbox{if }}x\leq 0\end{cases}}.}$

Елементарно пресмятане показва, че f е диференцуема функция, чиято производна е

${\displaystyle f'(x)={\begin{cases}2x,&{\mbox{if }}x\geq 0\\-2x,&{\mbox{if }}x\leq 0\end{cases}}}$.

f′(x) няма производна в нулата. Подобни примери показват, че една функция може да има k производни за някакво цяло неотрицателно k, но да няма производна от (k + 1)-ви ред.