Сигма-алгебра

В математиката и по-специално в теорията на мярката, ${\displaystyle \sigma }$-алгебра (или сигма-алгебра) върху едно множество ${\displaystyle X}$ представлява непразна система ${\displaystyle \Sigma }$ от подмножества на ${\displaystyle X}$, която е затворена откъм образуване на комплементи и изброими обединения на своите елементи. Наредената двойка ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ се нарича измеримо пространство.

Дефиниция

Нека ${\displaystyle X}$ е множество. Множеството ${\displaystyle \Sigma }$, елементите, на което са подмножества на ${\displaystyle X}$, се нарича ${\displaystyle \sigma }$-алгебра, ако са изпълнени следните три условия:

1. ${\displaystyle \emptyset \in \Sigma }$

2. за всяко множество ${\displaystyle E\in \Sigma \Rightarrow X\setminus E\in \Sigma }$ (затвореност откъм образуване на комплементарни множества)

3. за всяка редица ${\displaystyle (E_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ от елементи на ${\displaystyle \Sigma }$ множеството ${\displaystyle \bigcup _{n=1}^{\infty }E_{n}}$ е също елемент на ${\displaystyle \Sigma }$ (затвореност откъм образуване на изброими обединения).

Непосредствени следствия от дефинцията

От точки 1 и 2 следва, че ${\displaystyle X\in \Sigma }$, а от 2, 3 и правилото на де Морган следва: ${\displaystyle X\setminus (\bigcap _{n=1}^{\infty }E_{n})=\bigcup _{n=1}^{\infty }(X\setminus E_{n})}$, т.е. ${\displaystyle \Sigma }$ е затворена и откъм образуване на изброими сечения.

Свойства

Ако ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ e фамилия от ${\displaystyle \sigma }$-алгебри, то тогава нейното сечение

${\displaystyle \cap {\mathcal {A}}:=\{E\in {\mathfrak {P}}(X):\forall \Sigma \in {\mathcal {A}}(E\in \Sigma )\}}$

е отново ${\displaystyle \sigma }$-алгебра. Ако ${\displaystyle \Sigma }$ e ${\displaystyle \sigma }$-алгебра върху ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ е подмножество на ${\displaystyle X}$, то тогава рестрикцията

${\displaystyle \Sigma _{Y}:=\{E\cap Y:E\in \Sigma \}}$

е ${\displaystyle \sigma }$-алгебра върху Y.

Породена σ {\displaystyle \sigma } -алгебра

Нека ${\displaystyle {\mathfrak {E}}\subseteq {\mathfrak {P}}(X)}$ бъде едно произволно множество от подмножества на дадено множество ${\displaystyle X\neq \emptyset }$. Тогава чрез ${\displaystyle {\mathfrak {E}}}$ може да се формира специална ${\displaystyle \sigma }$-алгебра, наречена ${\displaystyle \sigma }$-алгебра породена от ${\displaystyle {\mathfrak {E}}}$. Бележи се със ${\displaystyle \sigma ({\mathfrak {E}})}$ и се дефинира по следния начин : Нека ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ бележи фамилията от ${\displaystyle \sigma }$-алгебри върху ${\displaystyle X}$ и нека ${\displaystyle \mathbb {A}$ :=\{\Sigma \in {\mathcal {A}}:{\mathfrak {E}}\subseteq \Sigma \}} , т.е. ${\displaystyle \mathbb {A} }$ представлява фамилия от всички ${\displaystyle \sigma }$-алгебри, които съдържат ${\displaystyle {\mathfrak {E}}}$ като подмножество. Тогава сечението на тези сигма-алгебри

${\displaystyle \sigma ({\mathfrak {E}}):=\bigcap _{\Sigma \in \mathbb {A} }^{}\Sigma }$

е ${\displaystyle \sigma }$-алгебра. Тя е най-малката ${\displaystyle \sigma }$-алгебра, на която ${\displaystyle {\mathfrak {E}}}$ е подмножество.

Борелова сигма-алгебра

Нека ${\displaystyle {\mathfrak {O}}_{n}}$ обозначава системата от отворените подмножества на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},n\in \mathbb {N} }$. Тогава

${\displaystyle {\mathfrak {B}}_{n}:=\sigma ({\mathfrak {O}}_{n})}$

се нарича борелова ${\displaystyle \sigma }$-алгебра върху ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Елементите на ${\displaystyle {\mathfrak {B}}_{n}}$ се наричат борелови множества.

Примери

• Най-малката ${\displaystyle \sigma }$-алгебра e множеството от подмножвества {${\displaystyle \emptyset ,X}$} на ${\displaystyle X}$, а най-голямата е булеанът ${\displaystyle {\mathfrak {P}}(X)}$.
• ${\displaystyle \Sigma =\{\{\},\{1\},\{2\},\{1,2\},\{2,3,4\},\{1,3,4\},\{3,4\},\{1,2,3,4\}\}}$ e сигма-алгебра върху ${\displaystyle X=\{1,2,3,4\}}$.
• В контекста на теорията на вероятностите, системата ${\displaystyle {\mathfrak {A}}\subseteq {\mathfrak {P}}(\Omega )}$ от подмножества на пространството на елементарните събития ${\displaystyle \Omega }$ представлява ${\displaystyle \sigma }$-алгебра, която се нарича още алгебра на събитията. Елементите на ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ се наричат събития и в случай, че е дадена вероятностна мярка P върху ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$, наредената тройка ${\displaystyle (\Omega ,{\mathfrak {A}},P)}$ се нарича вероятностно пространство.

Примери за генериране на сигма-алгебра

• За ${\displaystyle X:=\{0,1,2,3\}}$ и ${\displaystyle {\mathfrak {E}}=\{\{2\},\{0,1,2\}\}}$ следва

${\displaystyle \sigma ({\mathfrak {E}})=\{\emptyset ,\{2\},\{3\},\{0,1\},\{2,3\},\{0,1,2\},\{0,1,3\},\{0,1,2,3\}\}}$.

Външни препратки

• Чернова Н.: Теория вероятностей, 1 курс ЭФ, отделение экономики, § 1.