Симетрична матрица

Симетричната матрица е квадратна матрица, чиито елементи са симетрични относно главният диагонал. Следователно, симетрична матрица е такава матрица ${\displaystyle A}$, за която ${\displaystyle \forall i,j:a_{ij}=a_{ji}}$.

Това означава, че симетричната матрица е равна на нейната транспонирана матрица:

${\displaystyle A=A^{T}}$

Примери

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b&c\\b&d&e\\c&e&f\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1&3&0\\3&2&6\\0&6&5\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1&5\\5&7\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\end{pmatrix}}}$

Свойства

Симетричната матрица е винаги квадратна.

Сумата и разликата от две симетрични матрици е също симетрична матрица

Всяка симетрична матрица A с реални елементи е притежава следните свойства:

• матрицата има реални собствени стойности
• нейните собствени вектори, които съответстват на различни собствени стойности, са взаимно ортогонални:

${\displaystyle Av=\lambda _{1}v,\ Aw=\lambda _{2}w,\ \lambda _{1}\neq \lambda _{2}\implies v^{T}w=0}$

• от нейните собствени вектори винаги може да се състави ортонормиран базис
• симетричната матрица A може да се приведе в диагонален вид: ${\displaystyle A=QDQ^{T}}$, където ${\displaystyle Q}$

е ортогонална матрица, стълбовете на която образуват ортонормиран базис, съставен от собствените вектори на матрицата А, а D е диагонална матрица, чиито диагонални елементи са собствените стойности матрицата A.

• Ако симетричната матрица A има една единствена собствена стойност ${\displaystyle \lambda }$, то тя във всеки базис има диагонален вид: ${\displaystyle A=\lambda E}$, където е ${\displaystyle E}$ е единична матрица.

Симетризуеми матрици

Казваме че ${\displaystyle n\times n}$ матрицата ${\displaystyle A}$ е симетризуема ако съществуват инвертируема диагонална матрица ${\displaystyle D}$ и симетрична матрица ${\displaystyle S}$ за които е изпълнено ${\displaystyle A=DS.}$

Транспонираната нa симетризуема матрица е също симетризуема, тъй като ${\displaystyle A^{\mathrm {T} }=(DS)^{\mathrm {T} }=SD=D^{-1}(DSD)}$ и ${\displaystyle DSD}$ е симетрична матрица. Матрицата ${\displaystyle A=(a_{ij})}$ е симетризуема ако и само ако се изпълняват следните условия:

1. ${\displaystyle a_{ij}=0}$ и съответно ${\displaystyle a_{ji}=0}$ за всички ${\displaystyle 1\leq i\leq j\leq n.}$
2. ${\displaystyle a_{i_{1}i_{2}}a_{i_{2}i_{3}}\dots a_{i_{k}i_{1}}=a_{i_{2}i_{1}}a_{i_{3}i_{2}}\dots a_{i_{1}i_{k}}}$ за всяка крайна последователност ${\displaystyle \left(i_{1},i_{2},\dots ,i_{k}\right).}$

Положително (отрицателно) определени матрици

Симетричната матрица ${\displaystyle A}$ с размер ${\displaystyle k\times k}$ се нарича положително определена ако за ${\displaystyle \forall z\in \mathbb {R} ^{k}\setminus \{\mathbf {0} \}}$ се изпълнява условието ${\displaystyle z^{T}Az>0.}$

Условията една симетрична матрица да е отрицателно, неположително и неотрицателно определена се формулират аналогично със соответстващо изменение на знака на неравенството.

За получаване на вида на определенност на симетрична матрица може да се използва критерият на Силвестър.

Специални (именувани) видове симетрични матрици

• Персиметрична матрица: това е квадратна ${\displaystyle n\times n}$ матрица, симетрична относно своя втори диагонал. Елементите ${\displaystyle a_{i,j}}$ на такава матрица са свързани със съотношенията

${\displaystyle a_{i,j}=a_{n-j+1,n-i+1}}$

• Двусиметрична матрица: това е квадратна ${\displaystyle n\times n}$ матрица, елементите на която са симетрични относно двата и диагонала. Елементите ${\displaystyle a_{i,j}}$ на такава матрица са свързани със съотношенията:

${\displaystyle a}$_{i, j} = ${\displaystyle a}$_{j, i} , ${\displaystyle a}$_{i, j} = ${\displaystyle a}$_{n+1-j, n+1-i} .

• Центросиметрична матрица: това е квадратна ${\displaystyle n\times n}$ матрица, елементите на която са симетрични относно геометричният център на матрицата. Елементите ${\displaystyle a_{i,j}}$ на такава матрица са свързани със съотношенията: ${\displaystyle a}$_i,j = ${\displaystyle a}$_{n+1−i, n+1−j}

Двусиметричната матрица е частен случай на центросиметрична матрица

• Транспозиционна матрица (${\displaystyle Tr}$ матрица): това е квадратна ${\displaystyle n\times n}$ матрица, ${\displaystyle n=2^{m}}$, ${\displaystyle m\in N}$, чиито елементи се получават от елементите на зададен n-мерен вектор ${\displaystyle X=(x_{i})_{\begin{smallmatrix}i={1,n}\end{smallmatrix}}}$ по формулата ${\displaystyle Tr_{i,j}=x_{(i-1)\oplus (j-1)+1}}$, където със символа ${\displaystyle \oplus }$ е обозначена операцията "Побитово умножение" (XOR). Редовете и стълбовете на транспозиционната матрица съдържат пермутации на елементите на вектора ${\displaystyle X}$.
• Матрица на Лемер: това е константна ${\displaystyle n\times n}$ симетрична матрица (наречена на името на Дерек Хенри Лемер), елементите ${\displaystyle a_{i,j}}$ на която се изчисляват по формулата:

${\displaystyle a_{i,j}={\begin{cases}i/j,&j\geq i\\j/i,&j<i.\end{cases}}}$

Източници

• Константинов, М. М. Елементи на линейната алгебра: Вектори и матрици. С. Университет по архитектура, строителство и геодезия, 2000. с. 300.
• Harville, D. A. Matrix Algebra from Statistician’s Perspective. Softcover, 1997.
• Курош, А. Г. Курс Высшей алгебры. M. Наука, 1975. с. 431.