Синусова теорема

Синусовата теорема в тригонометрията изразява пропорционалната зависимост между дължините на страните на триъгълник в равнината и синусите на ъглите срещу тях.

Синусова теорема

Фиг. 1. С описана окръжност.

Фиг. 2. Без описана окръжност.

Ако страните на триъгълника са означени с ${\displaystyle a,b}$ и ${\displaystyle c}$, а ъглите срещу тях с ${\displaystyle A,B}$ и ${\displaystyle C}$, тогава синусовата теорема гласи:

За всеки триъгълник отношението на коя да е страна и синуса на срещулежащия ъгъл е равно на диаметъра на описаната около триъгълника окръжност:

${\displaystyle {a \over \sin A}={b \over \sin B}={c \over \sin C}=2R=d}$,

където ${\displaystyle R}$ e радиусът на описаната окръжност, а ${\displaystyle d}$ е нейният диаметър (фиг. 1). Този резултат датира от Птолемей. ^[1][2]

Теоремата има и обикновен вариант без използване на описаната окръжност, когато последната част от уравнението не се записва (фиг. 2):

Страните на триъгълника са пропорционални на синусите на срещулежащите ъгли:

${\displaystyle {a \over \sin A}={b \over \sin B}={c \over \sin C}}$,

а понякога законът се изразява и с реципрочните стойности:

${\displaystyle {\sin A \over a}={\sin B \over b}={\sin C \over c}}$.

Тези формули се използват, за да се намерят неизвестните страни на триъгълника, ако се знаят 2 ъгъла и третата страна, което е основна задача при триангулацията. Може да се използват и ако са известни две от страните и един от ъглите, но не този сключен между тях. Тогава уравненията ще дадат 2 решения за сключения ъгъл между известните страни: остър и тъп ъгъл, сумата от които е 180°, тъй като за всеки ъгъл ${\displaystyle \alpha }$ важи равенството ${\displaystyle \sin \alpha =\sin \left(180^{\circ }-\alpha \right)}$.

По синусовата теорема може да се определи и радиусът на описаната окръжност около триъгълника, ако се знаят една от страните му и ъгълът срещу нея:

${\displaystyle R={a \over 2\sin A}={b \over 2\sin B}={c \over 2\sin C}}$.

При остроъгълен и тъпоъгълен триъгълник диаметърът на описаната окръжност е по-голям от всяка от страните му, а при правоъгълен триъгълник е равен на хипотенузата.

Диаметърът на описаната окръжност може да се определи и чрез Хероновата формула за лице на триъгълника (фиг. 3):

Фиг. 3. Синусова теорема и лице ${\displaystyle S}$ на триъгълника

${\displaystyle d={\frac {abc}{2{\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}}}}$ или

${\displaystyle d={\frac {2abc}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}}}$,

където ${\displaystyle p={\frac {(a+b+c)}{2}}}$ е полупериметърът на триъгълника.

Доказателство

Нека е даден триъгълник със страни ${\displaystyle a,b}$ и ${\displaystyle c}$ и срещулежащи ъгли ${\displaystyle A,B}$ и ${\displaystyle C}$ (фиг. 4). От върха ${\displaystyle C}$ се спуска перпендикуляр към страната ${\displaystyle c}$ и се обозначава с ${\displaystyle h}$. Така се получават 2 правоъгълни триъгълника. За тях са верни равенствата:

Фиг. 4. Доказателство на синусова теорема.

${\displaystyle \sin A={\frac {h}{b}}}$ и ${\displaystyle \;\sin B={\frac {h}{a}}}$.

Следователно

${\displaystyle h=b\,\sin A=a\,\sin B}$

и

${\displaystyle {\frac {\sin A}{a}}={\frac {\sin B}{b}}}$.

Същото се получава и ако се спусне перпендикуляр от върха ${\displaystyle A}$ към страната ${\displaystyle a}$

${\displaystyle {\frac {\sin B}{b}}={\frac {\sin C}{c}}}$

и от върха ${\displaystyle B}$ към страната ${\displaystyle b}$

${\displaystyle {\frac {\sin A}{a}}={\frac {\sin C}{c}}}$.

От свързването на последните три равенства се формулира синусовата теорема.

Сферична синусова теорема

^{Този раздел е празен или е мъниче. Можете да помогнете на Уикипедия, като го разширите.}

Сферичната синусова теорема има същата формулировка и се отнася за сферичен триъгълник.

Вижте също

• Триъгълник
• Тригонометрична функция
• Триангулация
• Косинусова теорема
• Тангенсова теорема
• Котангенсова теорема