Тридесетоъгълник

Тридесетоъгълникът (също и триаконтагон) е многоъгълник с 30 страни и ъгли. Сборът на всички вътрешни ъгли е 5040° (28π). Има 405 диагонала.

Правилен тридесетоъгълник

При правилния тридесетоъгълник всички страни и ъгли са равни. Вътрешният ъгъл е 168°, а външният и централният – 12°.

Лице

Лицето S на правилен тридесетоъгълник може да бъде намерено по три начина:

• По страната a:

${\displaystyle S=15a^{2}\cdot \cot(6^{\circ })\approx 71,3577334\,a^{2}}$

• По радиуса R на описаната окръжност:

${\displaystyle S=15R^{2}\cdot \sin(12^{\circ })\approx 3,118675\,R^{2}}$

• По радиуса r на вписаната окръжност (т.е. апотемата):

${\displaystyle S=30r^{2}\cdot \tan(6^{\circ })\approx 3,153127\,r^{2}}$

Построение

Тъй като 30 = 2×3×5, а 3 и 5 са две различни прости числа на Ферма, правилен тридесетоъгълник може да бъде построен с линийка и пергел по подобие на петнадесетоъгълник.^[1]

Формули

${\displaystyle S={\frac {15}{2}}a^{2}\left({\sqrt {23+10{\sqrt {5}}+2{\sqrt {3(85+38{\sqrt {5}})}}}}\right)={\frac {15}{4}}a^{2}\left({\sqrt {15}}+3{\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}{\sqrt {25+11{\sqrt {5}}}}\right)}$

${\displaystyle r={\frac {1}{2}}a\cot {\frac {\pi }{30}}={\frac {1}{4}}a\left({\sqrt {15}}+3{\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}{\sqrt {25+11{\sqrt {5}}}}\right)}$

${\displaystyle R={\frac {1}{2}}a\csc {\frac {\pi }{30}}={\frac {1}{2}}a\left(2+{\sqrt {5}}+{\sqrt {15+6{\sqrt {5}}}}\right)}$