Триъгълно число

Триъгълно число^[1] е общият брой еднакви елементи, които подредени образуват равностранен триъгълник, като в схемата вдясно. Триъгълното число n е сумата на точките в равностранен триъгълник със страни n точки и е равно на сумата от първите n естествени числа. Числото 0 („нулево триъгълно число“) също се приема за триъгълно число на триъгълник със страна 0. Първите 36 триъгълни числа (последователност A000217 в OEIS) са:

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, 378, 406, 435, 465, 496, 528, 561, 595, 630, 666, …

Първите шест триъгълни числа

Формула

Точната формула за триъгълно число е:

${\displaystyle T_{n}=\sum _{k=1}^{n}k=1+2+3+\dotsb +n={\frac {n(n+1)}{2}}={n+1 \choose 2}}$,

където ${\displaystyle \textstyle {n+1 \choose 2}}$ е биномен коефициент. Той представлява броят на неповтарящите се двойки, които могат да бъдат избрани от n + 1 елемента.

Първото уравнение може да се илюстрира с помощта на следното доказателство.^[2] За всяко триъгълно число ${\displaystyle T_{n}}$ си представете полу-квадратно разположение на елементите, съответстващи на триъгълното число, като на фигурата по-долу. Копирайте тази подредба и я завъртете, създавайки правоъгълник с удвоен брой елементи, с размери ${\displaystyle T_{n}}$. Триъгълното число е винаги точно половината от броя на елементите в такава фигура, или: ${\displaystyle T_{n}={\frac {n(n+1)}{2}}}$. Например ${\displaystyle T_{4}}$ се илюстрира по следния начин:

${\displaystyle 2T_{4}=4(4+1)=20}$ (зелени плюс жълти) означава, че ${\displaystyle T_{4}={\frac {4(4+1)}{2}}=10}$ (зелени).

За доказателство се използва и математическата индукция.^[3]

Връзка към други фигурни числа

Триъгълните числа имат широк спектър от връзки с другите фигурни числа.

• Произведението на две последователни естествени числа е правоъгълно число.

${\displaystyle P_{n}={n(n+1)}={n^{2}+n}=T_{n}\times 2}$

Така n-тото правоъгълно число е двойно по-голямо от n-тото триъгълно число.

• Сумата от две последователни триъгълни числа е квадратно число. То е равно на квадрата от разликата на двете числа (следователно разликата в двете е корен квадратен от сумата). Алгебрически:

${\displaystyle T_{n}+T_{n-1}=\left({\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{2}}\right)+\left({\frac {\left(n-1\right)^{2}}{2}}+{\frac {n-1}{2}}\right)=\left({\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{2}}\right)+\left({\frac {n^{2}}{2}}-{\frac {n}{2}}\right)=n^{2}=(T_{n}-T_{n-1})^{2}}$

Графично това се представя така:

6 + 10 = 16

10 + 15 = 25

Има безкрайно количество триъгълни числа, които са едновременно и квадратни числа; например: 1, 36, 1225. Някои от тях могат да бъдат получени с помощта на обикновена рекурсивна формула:

${\displaystyle S_{n+1}=4S_{n}\left(8S_{n}+1\right)}$ с ${\displaystyle S_{1}=1.}$

Всички квадратни триъгълни числа се намират от рекурсията:

${\displaystyle S_{n}=34S_{n-1}-S_{n-2}+2}$ с ${\displaystyle S_{0}=0}$ и ${\displaystyle S_{1}=1}$

• Сборът на първите n на брой триъгълни числа прави n-тото тетраедрално число, като има само 5 триъгълни числа, които са същевременно и тетраедрални:^[4]

1, 10, 120, 1540 и 7140.

Триъгълни репдиджит числа

Репдиджит е естествено число, състоящо се само от една и съща цифра.

Според последователност A045914 в OEIS има само 7 числа, които са едновременно триъгълни и репдиджит:

0, 1, 3, 6, 55, 66, 666

В случая участват и едноцифрени числа, защото технически те са репдиджит само от една цифра.

Вижте също

• Правоъгълно число
• Квадратно число
• Тетраедрално число