Формула на Стърлинг

Формулата на Стърлинг е математическа формула за приблизително изчисляване на стойностите на функцията факториел (${\displaystyle n!}$). Точността на приближението нараства с нарастването на ${\displaystyle n}$, но дори и при малки стойности формулата дава сравнително точни резултати.

Диаграма на факториел, сравнена с приближенията по формулата на Стърлинг

Формулата на Стърлинг може да бъде представена чрез логаритъм от факториела:

${\displaystyle \ln(n!)=n\ln n-n+O(\ln n)}$,

където ${\displaystyle O}$ означава, че за всяка достатъчно голяма стойност на ${\displaystyle n}$ разликата между ${\displaystyle \ln(n!)}$ и ${\displaystyle n\ln n-n}$ ще бъде най-много съотносима с логаритъма. Грешката може да бъде изразена по-точно с:

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\log(2\pi n)+O({\tfrac {1}{n}})}$,

което води до формулата за приближение на самия факториел:

${\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}$.

Формулата е наречена на шотландския математик Джеймс Стърлинг (1692 – 1770).^[1]