Формули за съкратено умножение

Формулите за съкратено умножение обобщават често срещаните случаи за умножение на многочлени. Голяма част от тях са като частен случай на Нютоновия бином. Изучават се в началната алгебра.

Формули за втора степен

• ${\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}$
• ${\displaystyle (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}}$
• ${\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)}$
• ${\displaystyle (a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2ac+2bc}$

Формули за трета степен

• ${\displaystyle (a\pm b)^{3}=a^{3}\pm 3a^{2}b+3ab^{2}\pm b^{3}}$
• ${\displaystyle a^{3}\pm b^{3}=(a\pm b)(a^{2}\mp ab+b^{2})}$

Формули за четвърта степен

• ${\displaystyle (a\pm b)^{4}=a^{4}\pm 4a^{3}b+6a^{2}b^{2}\pm 4ab^{3}+b^{4}}$

Формули за n-та степен

• ${\displaystyle a^{n}-b^{n}=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}+...+a^{2}b^{n-3}+ab^{n-2}+b^{n-1})}$
• ${\displaystyle a^{2n}-b^{2n}=(a+b)(a^{2n-1}-a^{2n-2}b+a^{2n-3}b^{2}-...-a^{2}b^{2n-3}+ab^{2n-2}-b^{2n-1})}$, където ${\displaystyle n\in N}$
• ${\displaystyle a^{2n+1}+b^{2n+1}=(a+b)(a^{2n}-a^{2n-1}b+a^{2n-2}b^{2}-...+a^{2}b^{2n-2}-ab^{2n-1}+b^{2n})}$, където ${\displaystyle n\in N}$
• ${\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}y^{n-k}}$, където ${\displaystyle {n \choose k}={\frac {n!}{k!\,(n-k)!}}}$

Някои свойства на формулите

• ${\displaystyle (a-b)^{2n}=(b-a)^{2n}}$, където ${\displaystyle n\in N}$
• ${\displaystyle (a-b)^{2n+1}=-(b-a)^{2n+1}}$, където ${\displaystyle n\in N}$

Други формули

• ${\displaystyle a^{4}-b^{4}=(a-b)(a+b)(a^{2}+b^{2})}$ (извежда се от ${\displaystyle a^{2}-b^{2}}$)
• ${\displaystyle \displaystyle {1^{3}+2^{3}+...+n^{3}=(1+2+...+n)^{2}}}$

Вижте също

• Полином
• Нютонов бином

Тази страница частично или изцяло представлява превод на страницата „Формулы сокращённого умножения многочленов“ в Уикипедия на руски. Оригиналният текст, както и този превод, са защитени от Лиценза „Криейтив Комънс – Признание – Споделяне на споделеното“, а за съдържание, създадено преди юни 2009 година – от Лиценза за свободна документация на ГНУ. Прегледайте историята на редакциите на оригиналната страница, както и на преводната страница, за да видите списъка на съавторите. ​ ВАЖНО: Този шаблон се отнася единствено до авторските права върху съдържанието на статията. Добавянето му не отменя изискването да се посочват конкретни източници на твърденията, които да бъдат благонадеждни.​