Хиперболична функция

Хиперболичната функция е въведена по аналогия с познатите от елементарната геометрия тригонометрични функции, чрез замяна на реалния аргумент с чисто имагинерен. Тригонометричните функции се наричат още 'кръгови', тъй като за тях е в сила ${\displaystyle \cos ^{2}(x)+\sin ^{2}(x)=1}$, докато за хиперболическите ${\displaystyle \cosh ^{2}(x)-\sinh ^{2}(x)=1}$, което е уравнение за хипербола, като променливите са съответните означения за хиперболичен косинус и синус. Графиката на хиперболата се дават в табличен вид произволни стойности (-∞;-1) и (1;+∞). Графиката на тази функция никога не пресича О, Ox или Oy, в координатната система. Препоръчително е за x да се изберат 3 отрицателни числа и същите 3 числа обаче с положителен знак и в обратен ред. Примерно -3; -2; -1; 1; 2; 3.

Лъч през единичната хипербола ${\displaystyle \scriptstyle x^{2}\ -\ y^{2}\ =\ 1}$ в точка ${\displaystyle \scriptstyle (\cosh \,a,\,\sinh \,a)}$, където ${\displaystyle \scriptstyle a}$ е два пъти площта между лъча, хиперболата и оста ${\displaystyle \scriptstyle x}$. За точките на хиперболата под оста ${\displaystyle \scriptstyle x}$, площта се счита за отрицателна.

Стандартни аналитични изрази

sinh, cosh и tanh

csch, sech и coth

(a) cosh(x) е средно аритметичното на e^x и e^−x

(b) sinh(x) е половината разлика на e^x и e^−x

Хиперболичните функции са:

• Хиперболичен синус:

${\displaystyle \sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}={\frac {e^{2x}-1}{2e^{x}}}={\frac {1-e^{-2x}}{2e^{-x}}}}$.

• Хиперболичен косинус:

${\displaystyle \cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}={\frac {e^{2x}+1}{2e^{x}}}={\frac {1+e^{-2x}}{2e^{-x}}}}$.

• Хиперболичен тангенс:

${\displaystyle \tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}=}$

${\displaystyle ={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}={\frac {1-e^{-2x}}{1+e^{-2x}}}}$.

• Хиперболичен котангенс: ${\displaystyle x\not =0}$

${\displaystyle \coth x={\frac {\cosh x}{\sinh x}}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}=}$

${\displaystyle ={\frac {e^{2x}+1}{e^{2x}-1}}={\frac {1+e^{-2x}}{1-e^{-2x}}}}$

• Хиперболичен секанс:

${\displaystyle \operatorname {sech} \,x={\frac {1}{\cosh x}}={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}=}$

${\displaystyle ={\frac {2e^{x}}{e^{2x}+1}}={\frac {2e^{-x}}{1+e^{-2x}}}}$

• Хиперболичен косеканс: ${\displaystyle x\not =0}$

${\displaystyle \operatorname {csch} \,x={\frac {1}{\sinh x}}={\frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}=}$

${\displaystyle ={\frac {2e^{x}}{e^{2x}-1}}={\frac {2e^{-x}}{1-e^{-2x}}}}$

Хиперболичните функции могат да бъдат изведени и в комплексна форма:

• Хиперболичен синус:

${\displaystyle \sinh x=-i\sin(ix)}$

• Хиперболичен косинус:

${\displaystyle \cosh x=\cos(ix)}$

• Хиперболичен тангенс:

${\displaystyle \tanh x=-i\tan(ix)}$

• Хиперболичен котангенс:

${\displaystyle \coth x=i\cot(ix)}$

• Хиперболичен секанс:

${\displaystyle \operatorname {sech} x=\sec(ix)}$

• Хиперболичен косеканс:

${\displaystyle \operatorname {csch} x=i\csc(ix)}$

където ${\displaystyle i}$ е имагинерната единица със свойство ${\displaystyle i^{2}=-1}$.

Комплексните форми в по-горните определения се извеждат от формулата на Ойлер.

Специален смисъл

Хиперболичен косинус

Може да бъде доказано, че площта под кривата на cosh (x) в краен интервал е винаги равна на дължината на дъгата, съответстваща на този интервал:^[1]

${\displaystyle {\text{площ}}=\int _{a}^{b}{\cosh {(x)}}\ dx=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+\left({\frac {d}{dx}}\cosh {(x)}\right)^{2}}}\ dx={\text{дължина на дъгата}}}$

Хиперболичен тангенс

Хиперболичният тангенс е решението на диференциалното уравнение ${\displaystyle f'=1-f^{2}}$ за f(0)=0 и нелинейната краева задача:^[2]

${\displaystyle {\frac {1}{2}}f''=f^{3}-f;\quad f(0)=f'(\infty )=0}$

Вижте още

• Обратни хиперболични функции