ডট গুণন

গণিতে, ডট গুণন বা স্কেলার গুণন ^{[note ১]} হল একটি বীজগাণিতিক ক্রিয়াকলাপ যা সংখ্যার দুটি সমান দৈর্ঘ্যের ক্রম (সাধারণত সমন্বয় ভেক্টর ) নেয় এবং একটি একক সংখ্যা প্রদান করে। ইউক্লিডীয় জ্যামিতিতে, দুটি ভেক্টরের কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্কের ডট গুণন ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়। এটিকে প্রায়শই ইউক্লিডীয় স্থানের অভ্যন্তরীন গুণন(বা খুব কমই অভিক্ষেপ গুণন) বলা হয়, যদিও এটি একমাত্র অভ্যন্তরীণ গুণন নয় যা ইউক্লিডীয় স্থানের উপর সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে (আরো জন্য অভ্যন্তরীণ গুণন স্থান দেখুন)।

বীজগণিতভাবে,ডট গুণফল হল সংখ্যার দুটি অনুক্রমের সংশ্লিষ্ট এন্ট্রির গুণফলের সমষ্টি। এবং জ্যামিতিকভাবে, এটি দুটি ভেক্টরের ইউক্লিডীয় মাত্রা এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণের কোসাইন এর গুণফল। কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্ক ব্যবহার করার সময় এই সংজ্ঞাগুলি সমতুল্য বা সমান হয়। আধুনিক জ্যামিতিতে, ইউক্লিডীয় স্থানগুলিকে প্রায়শই ভেক্টর স্পেস ব্যবহার করে সংজ্ঞায়িত করা হয়। এই ক্ষেত্রে, ডট পণ্যটি দৈর্ঘ্য (একটি ভেক্টরের দৈর্ঘ্য নিজেই ভেক্টরের বিন্দু গুণফলের বর্গমূল ) এবং কোণগুলি নির্ধারণের জন্য ব্যবহৃত হয়।

"ডট গুণন " নামটি কেন্দ্রীভূত বিন্দু থেকে উদ্ভূত হয়েছে " · " যেটি প্রায়শই এই ক্রিয়াকলাপটিকে মনোনীত করতে ব্যবহৃত হয়;^[১] বিকল্প নাম "স্কেলার গুণন " যেটি নির্দেশ যে ফলাফলটি একটি ভেক্টরের পরিবর্তে একটি স্কেলার (যেমন ত্রিমাত্রিক স্থানের ভেক্টর গুণফলের সাথে)।

সংজ্ঞা

স্থানাঙ্ক জ্যামিতির সাহায্যে

দুটি ভেক্টর (স্থানাঙ্ক সহ) ${\displaystyle \mathbf {a} =[a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}]}$ ও ${\displaystyle \mathbf {b} =[b_{1},b_{2},\cdots ,b_{n}]}$, হলে,

$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}}$$

উদাহরণ

• ত্রিমাত্রিক স্থানাঙ্কতলে দুটি বিন্দু ${\displaystyle [1,3,-5]}$ ও ${\displaystyle [4,-2,-1]}$ হলে তাদের অবস্থান ভেক্টরের ডট গুণফল হবে:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\ [1,3,-5]\cdot [4,-2,-1]&=(1\times 4)+(3\times -2)+(-5\times -1)\\&=4-6+5\\&=3\end{aligned}}}$$

---

কলাম ম্যাট্রিক্সের সাহায্যে

$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} ^{\mathsf {T}}\mathbf {b} ,}$$ যেখানে ${\displaystyle a{^{\mathsf {T}}}}$ হল ${\displaystyle \mathbf {a} }$ এর ট্রান্সপোজ রূপ।

উদাহরণ (পূর্বের তথ্য একই রেখে)

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&-5\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}4\\-2\\-1\end{bmatrix}}=3\,}$$

ইউক্লিডীয় জ্যামিতির সাহায্যে

ভেক্টর ${\displaystyle \mathbf {a} }$ এর মান চিহ্নিত হয় ${\displaystyle \left\|\mathbf {a} \right\|}$ দ্বারা। তাই দুইটি ভেক্টর ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ও ${\displaystyle \mathbf {b} }$ হলে তাদের ডট গুণফল হবে:^[২][৩]

$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\cos \theta }$$

যেখানে, ${\displaystyle \theta }$ হল ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ও ${\displaystyle \mathbf {b} }$ এর মধ্যবর্তী কোণ।

ধর্ম

ডট গুণন তবেই সম্ভব যখন ${\displaystyle \mathbf {a} }$, ${\displaystyle \mathbf {b} }$, ও ${\displaystyle \mathbf {c} }$ প্রকৃত ভেক্টর এবং ${\displaystyle r}$, ${\displaystyle c_{1}}$ ও ${\displaystyle c_{2}}$ হল স্কেলার।

বিনিময় বৈশিষ্ট্য

$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {b} \cdot \mathbf {a} ,}$$ সংজ্ঞা থেকে (${\displaystyle \theta }$ হল ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ও ${\displaystyle \mathbf {b} }$ এর মধ্যবর্তী কোণ):^[৪] $${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\cos \theta =\left\|\mathbf {b} \right\|\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta =\mathbf {b} \cdot \mathbf {a} }$$

বিচ্ছেদ বৈশিষ্ট্য (ভেক্টর যোগের জন্য)

$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} +\mathbf {c} )=\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} }$$

দ্বিরৈখিকতা

$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (r\mathbf {b} +\mathbf {c} )=r(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )+(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )}$$

স্কেলার গুণ

${\displaystyle (c_{1}\mathbf {a} )\cdot (c_{2}\mathbf {b} )=c_{1}c_{2}(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )}$

সংযোগ নিয়ম মেনে চলে না

কারণ স্কেলার রাশি ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }$ ও একটি ভেক্টর ${\displaystyle \mathbf {c} }$ এর মধ্যে ডট গুণন সম্ভব নয়। ${\displaystyle (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\cdot \mathbf {c} }$ বা ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} )}$ উভয়ই অর্থহীন।^[৫]

লম্বতা

দুটি অশূন্য ভেক্টর ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ও ${\displaystyle \mathbf {b} }$ পরস্পর লম্ব হলে ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =0}$

কোসাইন নিয়মের সাথে সম্পর্ক

মূল নিবন্ধ: কোসাইন নিয়ম

ত্রিভুজটির একটি বাহু a ও অপর বাহু b ভেক্টর দ্বারা চিহ্নিত, যাদের মধ্যবর্তী কোণ θ

দুটি ভেক্টরের ${\displaystyle {\color {red}\mathbf {a} }}$ ও ${\displaystyle {\color {blue}\mathbf {b} }}$ যাদের মধ্যবর্তী কোণ ${\displaystyle \theta }$ (ছবিতে দেখুন), তৃতীয় বাহুর সাথে তারা একটি ত্রিভুজ তৈরী করেছে, যা হল ${\displaystyle {\color {orange}\mathbf {c} }={\color {red}\mathbf {a} }-{\color {blue}\mathbf {b} }}$. ধরি ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ ও ${\displaystyle c}$ হল যথাক্রমে ${\displaystyle {\color {red}\mathbf {a} }}$, ${\displaystyle {\color {blue}\mathbf {b} }}$, এবং ${\displaystyle {\color {orange}\mathbf {c} }}$ এর দৈর্ঘ্য।

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\color {orange}c} \cdot \mathbf {\color {orange}c} &=(\mathbf {\color {red}a} -\mathbf {\color {blue}b} )\cdot (\mathbf {\color {red}a} -\mathbf {\color {blue}b} )\\&=\mathbf {\color {red}a} \cdot \mathbf {\color {red}a} -\mathbf {\color {red}a} \cdot \mathbf {\color {blue}b} -\mathbf {\color {blue}b} \cdot \mathbf {\color {red}a} +\mathbf {\color {blue}b} \cdot \mathbf {\color {blue}b} \\&={\color {red}a}^{2}-\mathbf {\color {red}a} \cdot \mathbf {\color {blue}b} -\mathbf {\color {red}a} \cdot \mathbf {\color {blue}b} +{\color {blue}b}^{2}\\&={\color {red}a}^{2}-2\mathbf {\color {red}a} \cdot \mathbf {\color {blue}b} +{\color {blue}b}^{2}\\{\color {orange}c}^{2}&={\color {red}a}^{2}+{\color {blue}b}^{2}-2{\color {red}a}{\color {blue}b}\cos \mathbf {\color {purple}\theta } \\\end{aligned}}}$$

এটিই কোসাইন নিয়ম।

ত্রৈধ গুণন

মূল নিবন্ধ: ত্রৈধ গুণন

স্কেলার ত্রৈধ গুণন

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )=\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )}$

ভেক্টর ত্রৈধ গুণন

${\displaystyle \mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )\,\mathbf {b} -(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\,\mathbf {c} .}$

আরও দেখুন

• ক্রস গুণন

নোট

1. The term scalar product means literally "product with a scalar as a result". It is also used sometimes for other symmetric bilinear forms, for example in a pseudo-Euclidean space.