ফ্রাক্টাল

গণিতে, ফ্র্যাক্টাল হ'ল ইউক্লিডিয়ান ক্ষেত্রের একটি উপসেট যার জন্য ফ্র্যাক্টাল মাত্রা কঠোরভাবে টপোলজিকাল মাত্রাকে ছাড়িয়ে যায়। ফ্র্যাক্টালগুলি বিভিন্ন স্তরে একই দেখা যায়, যেমন ম্যান্ডেলব্রট সেটের ক্রমাগত প্রশস্তকরণে চিত্রিত হয়েছে।^{[১][২][৩][৪]} সাধারণভাবে, ফ্রাক্টাল হলো এমন এক আকার যা পুনরাবৃত্তির মাধ্যমে গঠিত বা স্বানুরূপ^[৫], অর্থাৎ এটা এমন এক আকার যা যেকোন মাত্রায়ই পরিবর্ধিত করা হোক না কেন, সর্বদাই অনুরূপ দেখাবে। এজন্যে এদেরকে প্রায়ই "অসীমরকম জটিল" বলে অভিহিত করা হয়ে থাকে। যদি এই প্রতিলিপিটি প্রতিবার মাপে হুবহু একই রকম হয়, যেমন মেনজার স্পঞ্জ, এটিকে অ্যাফাইন স্ব-অনুরূপ বলা হয়।^[৬] ফ্র্যাক্টাল জ্যামিতি টপোলজির একটি শাখা।

ফ্রাক্টাল এর একটি বিখ্যাত উদাহরণ, ম্যান্ডেলব্রট সেট, এর সীমারেখার চিত্র

ম্যান্ডেলব্রট সেট

সংজ্ঞা এবং বৈশিষ্ট্য

গণিতবিদেরা ফ্রাক্টালকে একরকম জ্যামিতিক বস্তু হিসাবে বিবেচনা করেন এবং নিম্নোক্তভাবে সংজ্ঞায়িত করে থাকেন:

• এদের গঠন অতি সূক্ষ্ম এবং পরিচিত ইউক্লিডীয় জ্যামিতির ভাষায় এদেরকে সহজে ব্যাখ্যা করা যায় না।
• এরা স্বানুরূপ (অন্তত আসন্ন বা পরিসংখ্যানিকভাবে তো বটেই)
• এদের টপোগাণিতিক মাত্রা'র চেয়ে হাসডর্ফ মাত্রা-র সংখ্যা বেশি।^[৭]
• এদের রয়েছে খুব সরল পৌনঃপুনিক সংজ্ঞা।
• এদের রয়েছে সহজাত চেহারা।

ফ্রাক্টালের এর সব বা অধিকাংশ বৈশিষ্ট্য থাকে।^[২]

সব স্বানুরূপ বস্তু কিন্তু ফ্রাক্টাল নয় — যেমন: বাস্তব রেখা (একটি ইউক্লিডিয়ান সরল রেখা) গাণিতিকভাবে স্বানুরূপ এবং দেখতে সহজাত হলেও অন্যান্য অধিকাংশ বৈশিষ্ট্য না থাকায়, এটা ফ্রাক্টাল নয়।

ইতিহাস

ফ্র্যাক্টালের গণিত প্রথম প্রতিষ্ঠা পেতে শুরু করে সপ্তদশ শতাব্দীতে যখন দার্শনিক ও বিজ্ঞানী গটফ্রিড লাইবনিৎস পৌনঃপুনিক আত্ম-সাদৃশ্য নিয়ে চিন্তা-ভাবনা শুরু করেন। অবশ্য লাইবনিৎসের একটি ভুল হয়েছিল। তিনি ভেবেছিলেন কেবল সরল রেখাই আত্ম-সদৃশ হতে পারে যা সঠিক নয়।

এরপর এ বিষয়ে আর তেমন কোন অগ্রগতি হয়নি।

১৯৭৫ সালে বেনোয়া মানডেলব্রট ফ্রাক্টাল নামটি উদ্ভাবন করেন। শব্দটি ল্যাটিন ফ্রাক্টাস থেকে নেয়া হয়েছে, যার অর্থ "ভাঙ্গা" বা "চিড়-ধরা"।

প্রয়োগ

প্রাকৃতিক ঘটনা

প্রকৃতিতে পাওয়া আনুমানিক ফ্র্যাক্টালগুলি প্রসারিত, তবে সসীম, স্কেল রেঞ্জগুলির উপর স্ব-সাদৃশ্য প্রদর্শন করে। উদাহরণস্বরূপ, ফ্র্যাক্টাল এবং পাতার মধ্যে সংযোগটি বর্তমানে গাছগুলিতে কতটা কার্বন রয়েছে তা নির্ধারণ করতে ব্যবহার করা হচ্ছে।^[৮] ফ্র্যাকটাল বৈশিষ্ট্যগুলির জন্য পরিচিত ঘটনাগুলির মধ্যে রয়েছে:

• অ্যাক্টিন সাইটোস্কেলেটন^[৯]
• শৈবাল
• প্রাণীর রঙ প্যাটার্ন
• রক্তনালী এবং পালমোনারি রক্তনালী^[১০]
• মেঘ ও বৃষ্টিপাতের এলাকা ^[১১]
• তটরেখা
• ক্রেটারস
• ক্রিস্টাল^[১২]
• ডিএনএ
• ভূমিকম্প^{[১৩][১৪]}
• ত্রুটি রেখা
• জ্যামিতিক অপটিক্স^[১৫]
• হৃদ স্পন্দন^[১৬]
• লেকের উপকূলরেখা ও এলাকাসমূহ^{[১৭][১৮][১৯]}
• বজ্রপাত
• পর্বত ছাগলের শিং
• পলিমার
• পারকোলেশন
• পর্বতমালা
• সমুদ্রের ঢেউ^[২০]
• আনারস
• আমিষ^[২১]
• শনির বলয়^{[২২][২৩]}
• নদী জাল
• তুষারকণা^[২৪]
• মাটির ছিদ্র^[২৫]
• প্রবাহের পৃষ্ঠতল বাধা^{[২৬][২৭]}
• ধুলো শস্য^[২৮]
• ব্রাউনীয় গতি^[২৯]

প্রযুক্তিতে প্রয়োগ

• ফ্র্যাক্টাল অ্যান্টেনা^[৩০]
• ফ্র্যাক্টাল ট্রান্সিটর^[৩১]
• নগরায়ন^{[৩২][৩৩]}
• রোগনিরূপণবিদ্যা^{[৩৪][৩৫]}
• ভূতত্ত্ব ^[৩৬]
• ভূগোল^[৩৭]
• প্রত্নতত্ত্ব^{[৩৮][৩৯]}
• অনুসন্ধান ও উদ্ধার^[৪০]
• কৌশলগত বিশ্লেষণ^[৪১]