সাইন নিয়ম

পদার্থবিজ্ঞানের সাইন নিয়মের জন্য স্নেলের সূত্র দেখুন।

ত্রিকোণমিতিতে সাইন নিয়ম বা সাইনের সূত্র (ইংরেজি: Sine rule) বলতে একটি সমীকরণকে বোঝায় যা কোনো ত্রিভুজের তিনটি বাহু ও তাদের প্রতিটির বিপরীত কোণের সাথে সম্পর্ককে চিহ্নিত করে।

ত্রিভুজের তিনটি বাহু ও তাদের বিপরীত কোণ

$${\displaystyle {\frac {a}{\sin {\alpha }}}\,=\,{\frac {b}{\sin {\beta }}}\,=\,{\frac {c}{\sin {\gamma }}}\,=\,2R}$$ যেখানে a, b, ও c হল ত্রিভুজের বাহুত্রয়ের দৈর্ঘ্য, ও α, β, ও γ হল বাহুত্রয়ের বিপরীত কোণ (উপরের চিত্র দেখুন) এবং R হল ত্রিভুজের পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ।

সাধারণত এই সূত্র সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয়ে ব্যবহার করা হয়।

উদাহরণ

পরিবৃত্তসহ ত্রিভুজ

চিত্রানুসারে S হল ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল।

নিম্নে কিছু উদাহরণ দিয়ে বোঝানো হল:

উদাহরণ ১

চিত্র ১

প্রদত্ত: বাহু a = 20, বাহু c = 24, ও কোণ γ = 40°. কোণ α এর মান জানতে চাওয়া হয়েছে।

সাইন নিয়ম অনুসারে, $${\displaystyle {\frac {\sin \alpha }{20}}={\frac {\sin(40^{\circ })}{24}}.}$$ $${\displaystyle \alpha =\arcsin \left({\frac {20\sin(40^{\circ })}{24}}\right)\approx 32.39^{\circ }.}$$

α এর আরেকটি মান α = 147.61° গৃহীত হয়নি কারণ এর জন্য α + β + γ > 180° হয়ে যাবে।

উদাহরণ ২

চিত্র ২

ত্রিভুজের দুটি বাহু a ও b এর দৈর্ঘ্য উভয়েরই x হয় ও তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য c হয়, a, b, ও c এর বিপরীত কোণ তিনটি α, β, ও γ হয় তবে $${\displaystyle {\begin{aligned}&\alpha =\beta ={\frac {180^{\circ }-\gamma }{2}}=90^{\circ }-{\frac {\gamma }{2}}\\[6pt]&\sin \alpha =\sin \beta =\sin \left(90^{\circ }-{\frac {\gamma }{2}}\right)=\cos \left({\frac {\gamma }{2}}\right)\\[6pt]&{\frac {c}{\sin \gamma }}={\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {x}{\cos \left({\frac {\gamma }{2}}\right)}}\\[6pt]&{\frac {c\cos \left({\frac {\gamma }{2}}\right)}{\sin \gamma }}=x\end{aligned}}}$$

পরিবৃত্তের সাথে সম্পর্ক

সূত্রানুসারে, বাহু ও তাদের বিপরীত কোণের সাইনের অনুপাত সর্বদা পরিব্যাসার্ধের দ্বিগুণের সমান।^[১][২]

প্রমাণ

ত্রিভুজ ADB বৃত্তের কেন্দ্রগামী। d হল বৃত্তটির ব্যাস

${\displaystyle \angle AOD=}$ ${\displaystyle 180^{\circ }}$ সুতরাং, ${\displaystyle \angle ABD=90^{\circ }}$ (অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সর্বদা সমকোণ হয়)।

$${\displaystyle \sin {\delta }={\frac {c}{2R}},}$$ যেখানে ${\displaystyle R={\frac {d}{2}}}$

${\displaystyle {\gamma }={\delta }}$ (যেহেতু সমবৃত্তাংশস্থ কোণ সর্বদা সমান হয়)। সুতরাং, $${\displaystyle \sin {\delta }=\sin {\gamma }={\frac {c}{2R}}}$$

অনুরূপে প্রমাণ করা যায়,

${\displaystyle {\frac {a}{\sin {\alpha }}}={\frac {b}{\sin {\beta }}}={\frac {c}{\sin {\gamma }}}=2R}$