সার্বিক ফাংশন

গণিতে,একটি ফাংশন f একটি সেট X থেকে অন্য একটি সেট Y এ সার্বিক হবে (এটি onto অথবা surjection নামেও পরিচিত), যদি f ফাংশনের কোডোমেইন Y এর প্রতিটি উপাদান y এর জন্য, f এর ডোমেইন X-এ কমপক্ষে একটি উপাদান x থাকে।যেন:f(x) = y হয়।^{[১][২][৩]} এক্ষেত্রে x অনন্য হতে হবে এমন কোনো বাধ্যবাধকতা নেই; ফাংশন f-এ x-এর এক বা একাধিক উপাদান Y এর একটি উপাদানে ম্যাপ করা থাকতে পারে। এই ফাংশন বা চিত্রণ উপরিচিত্রণ নামে পরিচিত।

X ডোমেইন থেকে কোডোমেইন Y-এ একটি সার্বিক ফাংশন। ফাংশনটি সার্বিক কারণ কোডোমেইনের প্রতিটি উপাদান f( x) এর মান ডোমেইনের অন্তত একটি উপাদান x এর সাথে সম্পর্কযুক্ত।

নিকোলা বুরবাকি সার্বিক সেট, একক এবং একক ও সার্বিক সেট সংশ্লিষ্ট বিষয়সমূহ প্রবর্তন করেছেন,^[৪][৫] এটি মূলত বিংশ শতাব্দীর ফরাসি গণিতবিদদের একটি দল ছিল, যা এই ছদ্মনামে ১৯৩৫ সাল থেকে আধুনিক উন্নত গণিতের একটি ব্যাখ্যা উপস্থাপন করে বেশ কয়েকটি বই লিখেছিল। ফার্সি শব্দ সুর' অর্থ উপরে ' এবং এই সত্যের সাথে সম্পর্কিত যে একটি সার্বিক ফাংশনের ডোমেনের চিত্রটি ফাংশনের কোডোমেইনকে সম্পূর্ণরূপে আচ্ছাদিত করে।

যেকোন ফাংশন সার্বিক সেটে রূপান্তরিত হয় এর কোডোমেনকে ডোমেইনের উপাদানসমূহের প্রতিবিম্বের মধ্যে সীমাবদ্ধ রেখে। প্রত্যেক সার্বিক ফাংশন এর একটি ডান বিপরীত রয়েছে এবং ডান বিপরীতসহ প্রত্যেক ফাংশন অবশ্যই সার্বিক ফাংশন হবে। সার্বিক ফাংশনের কম্পোজিট(একের অধিক ফাংশনের সংমিশ্রণ ) সর্বদাই সার্বিক ফাংশন হয়ে থাকে। যেকোনো ফাংশনকে সার্বিক ফাংশন এবং একক ফাংশনে বিভক্ত করা যেতে পারে।

সংজ্ঞা

চিহ্ন নিয়ে আরও তথ্যের জন্য দেখুন: ফাংশন (গণিত ) § চিহ্ন

একটি সার্বিক ফাংশন হলো এমন এক ধরনের ফাংশন যার প্রতিবিম্বসমূহ এর কোডমেইনের সমান। একইভাবে , একটি ফাংশন ${\displaystyle f}$ ডোমেইন ${\displaystyle X}$ এবং কোডোমেইন ${\displaystyle Y}$ সহ সার্বিক হবে যদি ${\displaystyle Y}$ এর অন্তর্ভুক্ত প্রত্যেক ${\displaystyle y}$ এর জন্য অন্তত একটি ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ এর মধ্যে বিদ্যমান থাকে যাতে ${\displaystyle f(x)=y}$ হয়।^[২] সার্বিক ফাংশনসমূহকে অনেক সময় দুই মাথা বিশিষ্ট ডানদিকবর্তী তীর দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। (U+21A0 ↠ দুই মাথা বিশিষ্ট ডানদিকবর্তী তীরচিহ্ন),^[৬] ${\displaystyle f\colon X\twoheadrightarrow Y}$ এ যেমন দেখা যাচ্ছে।

সাংকেতিকভাবে ,

যদি ${\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}$, তবে${\displaystyle f}$ সার্বিক ফাংশন বলা হয় যদি

${\displaystyle \forall y\in Y,\,\exists x\in X,\;\;f(x)=y}$ হয়।^[৩][৭]

আরও দেখুন

• একক ও সার্বিক ফাংশন
• একক ফাংশন
• কভার (বীজগণিত)
• আবরণ মানচিত্র
• গণনা
• ফাইবার বান্ডিল
• সূচক সেট
• বিভাগ (বিভাগ তত্ত্ব)