তরঙ্গ দৈর্ঘ্য

রৈখিক মাধ্যমে, সাইন তরঙ্গের উপাদানগুলি স্বাধীন প্রচারের পরিপ্রেক্ষিতে যে কোনও তরঙ্গ প্যাটার্ন বর্ণনা করতে পারে। একটি সাইন তরঙ্গরূপের তরঙ্গদৈর্ঘ্য v ধ্রুব গতিতে চলাচল করে। ^[৭]

\lambda ={\frac {v}{f}}\,\,,

এখানে v কে তরঙ্গের পর্যায় গতি (ফেজ বেগ) বলা হয় এবং f হল তরঙ্গের কম্পাঙ্ক। একটি বিচ্ছুরণ মাধ্যম-এ, ফেজ গতি নিজেই তরঙ্গের কম্পাঙ্কের উপর নির্ভর করে।

ইলেক্ট্রোম্যাগনেটিক রেডিয়েশন—যেমন আলোর ক্ষেত্রে—মুক্ত স্থান। ফেজের গতি হল আলোর বেগ- যা প্রায় ৩×১0^৮m/s। ইলেক্ট্রোম্যাগনেটিক (রেডিও) তরঙ্গের তরঙ্গদৈর্ঘ্য প্রায়: ৩×১০^৮m/s।দৃশ্যমান আলোর তরঙ্গদৈর্ঘ্য লাল থেকে মোটামুটি ৭০০ ন্যানোমিটার গভীর)।

বাতাসে শব্দ তরঙ্গ এর জন্য, শব্দের গতি হল ৩৪৩ m/s (রুমের তাপমাত্রা এবং বায়ুমণ্ডলীয় চাপ)। মানুষের কানে শ্রবণযোগ্য শব্দ ফ্রিকোয়েন্সিগুলির তরঙ্গদৈর্ঘ্য (২০ Hz–২০ kHz) এইভাবে যথাক্রমে প্রায় ১৭ মি এবং ১৭ মিমি এর মধ্যে, কিছুটা উচ্চতর কম্পাঙ্কগুলো বাদুড়ের দ্বারা ব্যবহৃত হয় যাতে তারা ১৭ মিমি থেকে ছোট লক্ষ্যগুলি সমাধান করতে পারে। শ্রবণযোগ্য শব্দের তরঙ্গদৈর্ঘ্য দৃশ্যমান আলোর চেয়ে অনেক বেশি।

স্থির তরঙ্গ

একটি স্থির তরঙ্গ হলো একটি আন্দোলিত গতি, যা এক জায়গায় স্থির থাকে। একটি সাইনোসয়েডাল স্থায়ী তরঙ্গের মধ্যে একটি গতিহীন স্থির বিন্দু রয়েছে, যাকে নোড বলা হয় এবং তরঙ্গদৈর্ঘ্য নোডের মধ্যের দূরত্বের দ্বিগুণ।

উপরের চিত্রটিতে, একটি বাক্সে তিনটি স্থির তরঙ্গ দেখা যায়। বাক্সের দেয়াল, কোন তরঙ্গদৈর্ঘ্য অনুমোদিত তা নির্ধারণ করে। বাক্সের দেয়ালে নোড থাকা সত্ত্বেও তরঙ্গের প্রয়োজন বলে মনে করা হয় (সীমান্ত শর্তের একটি উদাহরণ)। উদাহরণস্বরূপ, একটি ইলেক্ট্রোম্যাগনেটিক তরঙ্গের জন্য যদি বাক্সে আদর্শ ধাতব দেয়াল থাকে, তাহলে দেয়ালের নোডগুলির অবস্থার পরিবর্তন হয়। কারণ ধাতব দেয়াল একটি স্পর্শক বৈদ্যুতিক ক্ষেত্রকে সমর্থন করতে পারে না, তরঙ্গটিকে দেয়ালে শূন্য প্রশস্ততায় থাকতে বাধ্য করে।

স্থির তরঙ্গকে বেগের পশ্চাৎ দিক নির্দেশিত দুটি গতিশীল সাইন তরঙ্গের সমষ্টি হিসাবে দেখা যায়।^[৮] ফলস্বরূপ, তরঙ্গদৈর্ঘ্য, সময়কাল এবং তরঙ্গ বেগ একটি গতিশীল তরঙ্গের সাথে সম্পর্কিত। উদাহরণস্বরূপ, আলোর গতি একটি আদর্শ ভ্যাকুয়াম ধারণকারী ধাতব বাক্সে স্থির থাকা তরঙ্গের থেকে নির্ধারণ করা যায়।

গাণিতিক উপস্থাপনা

গতিশীল সাইন তরঙ্গগুলি প্রায়শই গাণিতিকভাবে তাদের বেগ v (x দিকে), কম্পাঙ্ক f এবং তরঙ্গদৈর্ঘ্য λ হিসাবে উপস্থাপন করা হয়:

y(x,\ t)=A\cos \left(2\pi \left({\frac {x}{\lambda }}-ft\right)\right)=A\cos \left({\frac {2\pi }{\lambda }}(x-vt)\right)

এখানে xওy হল তরঙ্গের মান এবং সময় t, এবং A হল তরঙ্গের প্রশস্ততা। এগুলিকে সাধারণত তরঙ্গ সংখ্যা k (তরঙ্গদৈর্ঘ্যের 2π গুণ) এবং কৌণিক কম্পাঙ্ক ω (2π গুণ কম্পাঙ্ক) হিসাবে প্রকাশ করা হয়:

y(x,\ t)=A\cos \left(kx-\omega t\right)=A\cos \left(k(x-vt)\right)

এখানে তরঙ্গদৈর্ঘ্য এবং তরঙ্গবেগ কম্পাঙ্কের সাথে সম্পর্কিত:

k={\frac {2\pi }{\lambda }}={\frac {2\pi f}{v}}={\frac {\omega }{v}},

অথবা,

\lambda ={\frac {2\pi }{k}}={\frac {2\pi v}{\omega }}={\frac {v}{f}}.

উপরে প্রদত্ত দ্বিতীয় ফর্মে, ফেজ (kx −ωt) প্রায়ই ('k•r'-এ সাধারণীকৃত হয় − ωt), তরঙ্গসংখ্যা k কে একটি তরঙ্গ ভেক্টর দিয়ে প্রতিস্থাপন করে যা [[3-স্পেসে] একটি সমতল তরঙ্গ এর দিক ও তরঙ্গসংখ্যা নির্দিষ্ট করে। ], অবস্থান ভেক্টর r দ্বারা প্যারামিটারাইজড। সেক্ষেত্রে, তরঙ্গসংখ্যা k, k এর মাত্রা উপরে দেখানো তরঙ্গদৈর্ঘ্যের সাথে এখনও একই সম্পর্কে রয়েছে। v তরঙ্গ ভেক্টর - কে স্কেলার গতি হিসাবে ব্যাখ্যা করা হচ্ছে। প্রথম পর্বে পারস্পরিক তরঙ্গদৈর্ঘ্য ব্যবহার করা ও নির্বিচারে একটি তরঙ্গকে এত সহজে সাধারণীকরণ করা যায় না।

অন্যান্য পর্যায়ের সাইনোসয়েড এবং জটিল সূচকের সাধারণীকরণও সাধারণ; দেখুন সমতল তরঙ্গ। একটি তরঙ্গ বর্ণনা করার সময় সাইন পর্বের পরিবর্তে কোসাইন ফেজ ব্যবহার করায় সাধারণ নিয়মটি এই সত্যের উপর ভিত্তি করে যে কোসাইন হল তরঙ্গের জটিল সূচকের আসল অংশ।

Ae^{i\left(kx-\omega t\right)}.

সাধারণ মাধ্যম

একটি তরঙ্গের গতি নির্ভর করে, এটি যে মাধ্যমে স্থানান্তর করে তার উপর। বিশেষ করে, একটি মাধ্যমের আলোর গতি ভ্যাকুয়াম এর চেয়ে কম, যার অর্থ হল একই কম্পাঙ্ক শূন্যের তুলনায় মাধ্যমের একটি ছোট তরঙ্গদৈর্ঘ্যের সাথে মিলে যাবে, যেমনটি চিত্রে দেখানো হয়েছে।

আলো একটি মাধ্যমে প্রবেশ করার সময় গতির এই পরিবর্তনের কারণে প্রতিসরণ হয়, বা তরঙ্গের দিক পরিবর্তন হয় যা একটি কোণে মাধ্যমের মধ্যে ইন্টারফেসের মুখোমুখি হয়।^[৯] ইলেক্ট্রোম্যাগনেটিক তরঙ্গ এর জন্য, স্থানান্তরের কোণের এই পরিবর্তনটি স্নেলের সূত্র কে সমার্থ করে।

একটি মাধ্যমের তরঙ্গের বেগ অন্য মাধ্যমের থেকে ভিন্ন হতে পারে না, তবে বেগ সাধারণত তরঙ্গদৈর্ঘ্যের সাথে পরিবর্তিত হয়। ফলস্বরূপ, তরঙ্গ তরঙ্গদৈর্ঘ্যের সাথে ভিন্ন মাধ্যমে প্রবেশ করার সময় দিক পরিবর্তন করে।

ইলেক্ট্রোম্যাগনেটিক তরঙ্গের জন্য একটি মাধ্যমের গতি তার প্রতিসরণ সূচক দ্বারা নিয়ন্ত্রিত হয়।

v={\frac {c}{n(\lambda _{0})}},

এখানে c হল শূন্যে আলোর গতি এবং n(λ₀) তরঙ্গদৈর্ঘ্য। λ₀-এ মাধ্যমের প্রতিসরণকারী সূচক। যেখানে পরেরটি মাধ্যমের পরিবর্তে ভ্যাকুয়ামে পরিমাপ করা হয়।

\lambda ={\frac {\lambda _{0}}{n(\lambda _{0})}}

যখন ইলেক্ট্রোম্যাগনেটিক বিকিরণের তরঙ্গদৈর্ঘ্য উদ্ধৃত করা হয়, তখন ভ্যাকুয়ামের তরঙ্গদৈর্ঘ্যকে উদ্দেশ্য করা হয় যদি না তরঙ্গদৈর্ঘ্যকে নির্দিষ্টভাবে অন্য কোনো মাধ্যমের তরঙ্গদৈর্ঘ্য হিসাবে চিহ্নিত করা হয়। ধ্বনিবিদ্যায়, যেখানে তরঙ্গের অস্তিত্বের জন্য একটি মাধ্যম অপরিহার্য, সেখানে একটি নির্দিষ্ট মাধ্যমের জন্য তরঙ্গদৈর্ঘ্যের মান দেওয়া হয়।

তরঙ্গদৈর্ঘ্যের সাথে আলোর গতির তারতম্যকে বিচ্ছুরণ বলা হয়, এবং এটি পরিচিত ঘটনার জন্য দায়ী যেখানে আলো একটি প্রিজম দ্বারা উপাদান রঙে বিভক্ত হয়। বিচ্ছেদ ঘটে, যখন প্রিজমের অভ্যন্তরে প্রতিসরাঙ্ক তরঙ্গদৈর্ঘ্যের সাথে পরিবর্তিত হয়, তাই বিভিন্ন তরঙ্গদৈর্ঘ্য প্রিজমের অভ্যন্তরে বিভিন্ন গতিতে স্থানান্তর করে, যার ফলে তারা বিভিন্ন কোণে প্রতিসরিত করে। একটি গাণিতিক সম্পর্ক বর্ণনা করে যে, কীভাবে একটি মাধ্যমের মধ্যে আলোর গতি তরঙ্গদৈর্ঘ্যের সাথে পরিবর্তিত হয়।