Trigonometrija

Riječ trigonometrija nastala je od grčkih riječi trigonon – trougao i metron – mjera.

Sam naziv trigonometrija asocira na operacije s trouglovima. Dakle, u početku je za cilj imala izračunavanje vrijednosti svih elemenata jednog trougla( visine, težišnih linija, simetrala, poluprečnika, površine i uglova) pomoću podataka dovoljnih za određivanje trougla. Njen prvobitni cilj je danas prevaziđen, pa je njena osnovna uloga izračunavanje trigonometrijskih funkcija.

Osnovne trigonometrijske formule

Funkcije jednog ugla

${\displaystyle \sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1,\quad {\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}=\tan \alpha ,\quad \sin \alpha \cdot \csc \alpha =1}$,

${\displaystyle \sec ^{2}\alpha -\tan ^{2}\alpha =1,\qquad \cos \alpha \cdot \sec \alpha =1}$,

${\displaystyle \csc ^{2}\alpha -\cot ^{2}\alpha =1,\quad {\frac {\cos \alpha }{\sin \alpha }}=\cot \alpha ,\quad \tan \alpha \cdot \cot \alpha =1}$

Međusobno izražavanje funkcija

${\displaystyle \sin \alpha ={\sqrt {1-\cos ^{2}\alpha }}={\frac {\tan \alpha }{\sqrt {1+\tan ^{2}\alpha }}},}$

${\displaystyle \cos \alpha ={\sqrt {1-\sin ^{2}\alpha }}={\frac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}\alpha }}},}$

${\displaystyle \tan \alpha ={\frac {\sin \alpha }{\sqrt {1-\sin ^{2}\alpha }}}={\frac {1}{\cot \alpha }},}$

${\displaystyle \cot \alpha ={\frac {\sqrt {1-\sin ^{2}\alpha }}{\sin \alpha }}={\frac {1}{\tan \alpha }}.}$

Funkcije zbira i razlike

${\displaystyle \sin(\alpha \pm \beta )=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta ,\,}$

${\displaystyle \cos(\alpha \pm \beta )=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta ,}$

${\displaystyle \tan(\alpha \pm \beta )={\frac {\tan \alpha \pm \tan \beta }{1\mp \tan \alpha \tan \beta }},\quad \cot(\alpha \pm \beta )={\frac {\cot \alpha \cot \beta \mp 1}{\cot \beta \pm \cot \alpha }}.}$

${\displaystyle \tan 2\alpha ={\frac {2\tan \alpha }{1-\tan ^{2}\alpha }},\tan 3\alpha ={\frac {3\tan \alpha -\tan ^{3}\alpha }{1-3\tan ^{2}\alpha }},}$

${\displaystyle \sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha ,\quad \sin 3\alpha =3\sin \alpha -4\sin ^{3}\alpha ,}$

${\displaystyle \cos 2\alpha =\cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha ,\quad \cos 3\alpha =4\cos ^{3}\alpha -3\cos \alpha ,}$

${\displaystyle \tan 2\alpha ={\frac {2\tan \alpha }{1-\tan ^{2}\alpha }},\quad \tan 3\alpha ={\frac {3\tan \alpha -\tan ^{3}\alpha }{1-3\tan ^{2}\alpha }},}$

${\displaystyle \cot 2\alpha ={\frac {\cot ^{2}\alpha -1}{2\cot \alpha }},\quad \cot 3\alpha ={\frac {\cot ^{3}\alpha -3\cot \alpha }{3\cot ^{2}\alpha -1}},}$

${\displaystyle \tan 4\alpha ={\frac {4\tan \alpha -4\tan ^{3}\alpha }{1-6\tan ^{2}\alpha +\tan ^{4}\alpha }},\quad \cot 4\alpha ={\frac {\cot ^{4}\alpha -6\cot ^{2}\alpha +1}{4\cot ^{3}\alpha -4\cot \alpha }}.}$

Na osnovu ovih formula možemo odrediti predznak trigonometrijskih funkcija po kvadrantima

Kvadrant	0°- 90°	90°- 180°	180°- 270°	270°- 360°
sinus	+	+	-	-
kosinus	+	-	-	+
tangens	+	-	+	-
kotangens	+	-	+	-

Zbir i razlika trigonometrijskih funkcija

${\displaystyle \sin \alpha +\sin \beta =2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}},}$

${\displaystyle \sin \alpha -\sin \beta =2\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}},}$

${\displaystyle \cos \alpha +\cos \beta =2\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}},}$

${\displaystyle \cos \alpha -\cos \beta =-2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}},}$

${\displaystyle \tan \alpha \pm \tan \beta ={\frac {\sin(\alpha \pm \beta )}{\cos \alpha \cos \beta }},\quad \cot \alpha \pm \cot \beta =\pm {\frac {\sin(\alpha \pm \beta )}{\sin \alpha \sin \beta }},}$

${\displaystyle \tan \alpha +\cot \beta ={\frac {\cos(\alpha -\beta )}{\cos \alpha \sin \beta }},\quad \cot \alpha -\tan \beta ={\frac {cos(\alpha +\beta )}{\sin \alpha \cos \beta }}.}$

Proizvod funkcija

${\displaystyle \sin \alpha \sin \beta ={\frac {1}{2}}[\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta )],}$

${\displaystyle \cos \alpha \cos \beta ={\frac {1}{2}}[\cos(\alpha -\beta )+cos(\alpha +\beta )],}$

${\displaystyle \sin \alpha \cos \beta ={\frac {1}{2}}[\sin(\alpha +\beta )+\sin(\alpha -\beta )].}$

Funkcije polovine ugla

${\displaystyle \sin {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {1-\cos \alpha }{2}}},\quad \cos {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {1+\cos \alpha }{2}}},}$

${\displaystyle \tan {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {1-\cos \alpha }{1+\cos \alpha }}}={\frac {1-\cos \alpha }{\sin \alpha }}={\frac {\sin \alpha }{1+\cos \alpha }},}$

${\displaystyle \cot {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {1+\cos \alpha }{1-\cos \alpha }}}={\frac {1+\cos \alpha }{\sin \alpha }}={\frac {\sin \alpha }{1-\cos \alpha }}.}$

Stepenovanje funkcija

${\displaystyle \sin ^{2}\alpha ={\frac {1}{2}}(1-\cos 2\alpha ),\quad \cos ^{2}\alpha ={\frac {1}{2}}(1+\cos 2\alpha ),}$

${\displaystyle \sin ^{3}\alpha ={\frac {1}{4}}(3\sin \alpha -\sin 3\alpha ),\quad \cos ^{3}\alpha ={\frac {1}{4}}(\cos 3\alpha +3\cos \alpha ),}$ ${\displaystyle \sin ^{4}\alpha ={\frac {1}{8}}(\cos 4\alpha -4\cos 2\alpha +3),\quad \cos ^{4}\alpha ={\frac {1}{8}}(\cos 4\alpha +4\cos 2\alpha +3).}$

Orijentisani ugao

Orijentisani ugao je ugao kod koga znamo koji je prvi a koji drugi krak, odnosno to je ugao čiji kraci čine jedan uređeni par. Ova osobina ugla, gdje znamo koji je prvi a koji drugi krak, je sasvim dovoljna za njegovu orijentaciju. Orijentisani ugao može biti pozitivno ili negativno orijentisan. Pozitivno orijentisani ugao je onaj kod koga imaginarno kretanje prvog kraka prema drugom ide u suprotnom smjeru kretanja kazaljke na satu. Ugao suprotne orijentacije ovom uglu je negativno orijentisani ugao. Za dva orijentisana ugla kažemo da su jednaki ako i samo ako su podudarni i imaju istu orijentaciju. Ako su podudarni a imaju suprotnu orijentaciju kažemo da su suprotni.

Mjerenje uglova - Radijan

Općepoznata je činjenica da svaki ugao ima svoju mjeru. Kao osnovne mjere za mjerenje uglova upotrebljavaju se stepen i radijan, a nešto manje je zastupljen grad. Stepen je devedeseti dio pravog ugla, tj. ako punom uglu pridružimo broj 360 tada tristašezdesetom dijelutog ugla odgovara broj jedan što predsavlja jedan stepen. Tako pun ugao ima 360˚, ispruženi 180˚, pravi 90˚ i td. U trigonometriji za mjerenje uglova najčešće se koristi radijan. Radijan je lučna mjera ugla tj. mjerenje radijanom je mjerenje lukom. Ako je dužina kružnog luka jednaka poluprečniku tada odgovarajući centralni ugao nazivamo radijanom.

Trigonometrijska kružnica

Pojam trigonometrijskih funkcija i njihove osobine najlakše je objasniti pomoću trigonometrijske ili brojevne kružnice. Trigonometrijska kružnica je orjentisana kružnica poluprečnika jedan sa centrom u koordinatnom početku i početnom tačkom A sa koordinatama A(1,0).

Na trigonometrijskoj kružnici se nalazi nekoliko tačaka koje su veoma bitne.

  Oznaka     koordinate tačke
   O          (0,0)
   A          (1,0)
   B          (0,1)
   C          (-1,0)
   D          (0,-1)

Trigonometrijska funkcija

Glavni članak: Trigonometrijska funkcija

Trigonometrijske funkcije su: sinus, kosinus, tangens i kotangens i označavaju se redom sa: sinx, cosx, tgx i ctgx, gdje je x ugao. Moguće je definisati trigonometrijske funkcije realnih brojeva kojima pridružujemo tačke na trigonometrijskoj kružnici:

• Sinus realnog broja x je ordinata one tačke trigonometrijske kružnice koja je pridružena tom realnom broju.
• Kosinus realnog broja x je apscisa one tačke trigonometrijske kružnice koja je pridružena tom realnom broju.
• Tangens realnog broja x je ordinata tačke u kojoj pravac određen centrom trigonometrijske kružnice i tačkom trigonometrijske kružnice koja jepridružena broju x, sječe tangensnu osu na trigonometrijskoj kružnici.
• Kotangens realnog broja x je apscisa tačke u kojoj pravac određen centrom trigonometrijske kružnice i tačkom trigonometrijske kružnice koja je pridružena broju x sječe kotangensnu osu na trigonometrijskoj kružnici.

Također pogledajte

• Trigonometrijske funkcije
• Jedinični krug