Àlgebra lineal
branca de les matemàtiques / From Wikipedia, the free encyclopedia
L'àlgebra lineal és la branca de les matemàtiques que tracta l'estudi dels vectors, espais vectorials, transformacions lineals i sistemes d'equacions lineals. Els espais vectorials són un tema central en les matemàtiques modernes, per això s'usa àmpliament en l'àlgebra abstracta i l'anàlisi funcional. L'àlgebra lineal té una representació concreta a la geometria analítica, i té aplicacions al camp de les ciències naturals i a les ciències socials.[1] També s'usen en la programació dels cercadors d'internet.[2]
Els vectors i els espais vectorials són uns objectes matemàtics que poden servir per modelitzar l'espai físic de tres dimensions, però també altres conceptes que tenen característiques similars, com ara l'espaitemps de quatre dimensions, o altres objectes de més dimensions i fins i tot d'infinites dimensions com per exemple l'espai abstracte que formen el conjunt de funcions desenvolupables en sèrie de Taylor, el conjunt de totes les funcions complexes o les successions reals.
Les aplicacions lineals són un cas particular de funcions que a cada vector d'un espai vectorial li fan correspondre (o el transformen en) un altre vector d'un altre (o del mateix) espai vectorial. La particularitat que caracteritza a les aplicacions lineals és que "respecten" la suma de vectors i el producte per un escalar. Una funció és una aplicació lineal si i només si és el mateix transformar la suma de dos vectors multiplicats per un escalar que sumar el resultat de transformar-los un per un.
Les matrius són llistes de vectors que normalment es representen en una taula. Com que les aplicacions lineals queden completament determinades un cop es coneix quina transformació fan a un conjunt de vectors tals que els altres es puguin escriure com a suma d'aquests (el nombre de vectors que cal és igual a la dimensió de l'espai), aplegant els vectors resultat de transformar un d'aquests conjunts (anomenat base) s'obté una matriu que determina l'aplicació lineal. Llavors l'estudi de les matrius facilita l'estudi de les aplicacions lineals.[3][4] Els determinants són funcions que a un conjunt de vectors (en un nombre igual a la dimensió de l'espai) li assignen el volum amb signe (o hipervolum si l'espai és de dimensió diferent de 3) del paralel·lepípede (o hiperparal·lelepípede) que defineixen. Si els vectors estan aixafats en un espai de dimensió més petita que l'espai total (per exemple un pla en un espai de tres dimensions) el determinant és zero. Això permet caracteritzar els conjunts de vectors, les matrius i les aplicacions associades.