Aritmètica modular
operacions algebraiques aplicades als residus resultants de dividir nombres enters entre un altre fix i positiu / From Wikipedia, the free encyclopedia
En matemàtiques, i més concretament en teoria de nombres algebraics, l'aritmètica modular és un conjunt de mètodes que permeten la resolució de problemes sobre els nombres enters. Aquests mètodes sorgeixen de l'estudi del residu obtingut per una divisió.
Aquest article tracta sobre el concepte d'aritmètica modular; la principal eina de l'aritmètica modular és la congruència sobre els enters. |
La idea de base de l'aritmètica modular és de treballar no sobre els nombres mateixos, sinó sobre els residus de la seva divisió per alguna cosa. Quan es fa, per exemple, la prova del nou, s'efectua una operació d'aritmètica modular sense saber-ho: el divisor és el valor 9.
Tot i que els seus orígens es remunten a l'antiguitat, generalment, els historiadors associen el seu naixement l'any 1801, data de la publicació del llibre Disquisitiones arithmeticae[1] de Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855). El seu nou enfocament permet elucidar cèlebres conjectures[2] i simplifica les demostracions d'importants resultats[3] gràcies a una major abstracció. Si bé l'àmbit natural d'aquests mètodes és la teoria dels nombres, les conseqüències de les idees de Gauss es troben també en altres camps de les matemàtiques, com l'àlgebra o la geometria.
El segle xx modifica l'estatut de l'aritmètica modular. D'una banda, es necessiten altres mètodes per progressar en la teoria dels nombres. D'altra banda, el desenvolupament de nombroses aplicacions industrials imposa la posada a punt d'algorismes procedents de les tècniques modulars. Resolen essencialment qüestions sorgides en la teoria de la informació, una branca considerada actualment, sobretot, com matemàtiques aplicades.